Какой знак равенства используется при символьном решении уравнений или систем уравнений в mathcad

Zoloto585CPA

Символьное решение уравнений.

ü получить навыки решения уравнений и систем уравнений в среде MathCad.

Обеспечение работы:

ü ПК с установленными необходимыми программами для работы (MathCad);

ü методические указания к выполнению работы (электронный вариант).

Порядок выполнения работы:

1. Ознакомиться с теоретическим материалом данных методических указаний;

2. Выполнить задания, приведенные в разделе II. Порядок выполнения работы;

3. Ответить на контрольные вопросы, сделать выводы.

4. Оформить отчет.

Содержание отчета:

ü тема, цель и порядок выполнения работы;

ü привести выполненные задания (скриншоты);

ü ответы на контрольные вопросы;

Теоретические положения

I. ПОДХОДЫ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ

УРАВНЕНИЙ В MATHCAD

В системе MathCad реализовано три подхода к решению уравнений и систем уравнений — использование символьных преобразований, численных алгоритмов и графический метод.

Символьное решение уравнений.

Для аналитического решения уравнений в системе MathCad существует специальный оператор "Solve" (Решить).

Для нахождения корней уравнения с помощью этого оператора следует осуществить следующие действия:

1. Ввести оператор Solve с помощью панели "Symbolic".

2. В левом маркере задать выражение для уравнения. По знак равенства следует использовать логический знак равенства "=" (Ctrl + =). Если уравнение приведено к стандартному виду (правая часть равна нулю), то достаточно ввести только его левую часть. К нулю выражение приравняется автоматически. Также в левый маркер можно ввести и имя функции, тогда будут находиться нули функции

3. В правом маркере введите переменную, относительно которой нужно решить уравнение:

Также для символьного решения уравнений и систем уравнений используется блок "Given-Find".

Сначала следует ввести слово "Given", далее записать выражение для уравнения (системы уравнений), используя логический знак равенства (Ctrl + =), а затем ввести слово "Find" и в скобках указать имя переменной (переменных), в отношении которого нужно решить уравнение.

Следует заметить, что решить аналитически возможно очень ограниченный круг уравнений и систем уравнений.

Символьные вычисления в MathCAD

Имеются некоторые задачи, для которых возможности MathCAD позволяют находить решения в символьном (аналитическом) виде. Решение уравнений в символьном виде позволяет найти точные или приближенные корни уравнения:

• если решаемое уравнение имеет параметр, то решение в символьном виде может выразить искомый корень непосредственно через параметр. Поэтому вместо того чтобы решать уравнение для каждого нового значения параметра, можно просто заменять его значение в найденном символьном решении;

• если нужно найти все комплексные корни полинома со степенью меньше или равной 4, символьное решение даст их точные значения в одном векторе или в аналитическом или цифровом виде.

Команда Символы→ Переменные→ Вычислитьпозволяет решить уравнение относительно некоторой переменной и выразить его корни через остальные параметры уравнения.

Чтобы решить уравнение символьно, необходимо:

1. Напечатать выражение (для ввода знака равенства используйте комбинацию клавиш Ctrl + =);

2. Выделить переменную, относительно которой нужно решить уравнение, щелкнув на ней мышью;

3. Выбрать пункт меню Символы → Переменные → Вычислить.

Нет необходимости приравнивать выражение нулю. Если MathCAD не находит знака равенства, он предполагает, что требуется приравнять выражение нулю.

Чтобы решить систему уравнений в символьном виде, необходимо выполнить следующее:

1. Напечатать ключевое слово Given;

2. Напечатать уравнения в любом порядке ниже слова Given. Удостоверьтесь, что для ввода знака = используется Ctrl + =;

3. Напечатать функцию Find, соответствующую системе уравнений;

4. Нажать Ctrl + .(клавиша CTRL, сопровождаемая точкой). MathCAD отобразит символьный знак равенства →;

5. Щелкнуть мышью на функции Find.

Нахождение корней полинома

Для нахождения корней выражения, имеющего вид v0+v1x+… vn-1xn-1 +vnxn, лучше использовать функцию polyroots, нежели root. В отличие от функции root, функция polyroots не требует начального приближения и возвращает сразу все корни, как вещественные, так и комплексные.

Функция Polyroots(v)— возвращает корни полинома степени n. Коэффициенты полинома находятся в векторе v длины n + 1. Возвращает вектор длины n, состоящий из корней полинома.

Интегрирование

С помощью пакета Mathcad можно определять значение определенных интегралов на заданном промежутке или получить выражение для неопределенного интеграла. Для получения значения определенного интеграла необходимо воспользоваться панелью Calculus.

Cледует выполнить следующие шаги:

— На панели Calculus выбрать кнопку со значком определенного интеграла.

— Ввести значения концов отрезка и ввести подынтегральную функцию.

— Ввести знак равенства, появится искомое значение.

Найти значение определенного интеграла на отрезке [0;2], если подынтегральная функция (x+1)e x .

Для получения символьного решения при нахождении неопределенного интеграла следует выполнить следующую последовательность действий:

— На панели Calculus выбрать кнопку со значком неопределенного интеграла;

— Ввести подынтегральную функцию;

—С панели Evaluation ввести знак “→”, позволяющий получить символьное решение, и щелкнуть левой кнопкой мышки по свободному месту на листе, после стрелки появится искомое выражение.

Вычислить неопределенный интеграл, подынтегральная функция которого имеет вид

Zoloto585CPA

Задание №1

В соответствии с номером своего варианта задания выбрать из таблицы 1 подынтегральную функцию и интервал изменения аргумента.

Таблица 1 – Варианты заданий

№ варианта Подынтегральная функция Интервал
1, 11 (2x+2)e 2x [0;2]
2, 12 x sin(x) [0;π]
3, 13 (x+4)cos(x) [0;π/2]
4, 14 x 3 ln(x) [1;e]
5, 15 e x sin(x) [0;π]
6, 16 e x cos(x) [0;π]
7, 17 (x-3)e x [0;1]
8, 18 (x+1)sin(x) [0;π]
9, 19 x ln(x) [1;e]
10, 20 x cos(x) [0;π]

Задание №2

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ — конструкции, предназначен­ные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой.

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).

Решение уравнений

Рассмотрим задачу решения системы из n линейных уравнений. Пусть нам дана система уравнений:

\left\< \begin<aligned>a_<11>x_1+a_<12>x_2+\ldots+<a_1>nx_n=b_1\\ a_<21>x_1+a_<22>x_2+\ldots+a_<2n>x_n=b_2\\ \ldots \\ a_<n1>x_1+a_<n2>x_2+\ldots+a_<nn>x_n=b_n \end <aligned>\right.

Решить систему – значит найти такие числа, при подстановке которых в данную систему получим все n верных равенств. Составим матрицы системы.

  • Составляем матрицу A, состоящую из коэффициентов при переменных (размерность n x n).
  • Составляем матрицу свободных членов B (размерность ( n x 1).
  • Перепишем и исходную систему в матричном виде: AX=B.
Матричный способ

Система решается аналитически. Вектор решения можно получить из следующего выражения: X=A^<-1>B. Можно сделать проверку подстановкой корней в уравнения.

Пример 4.6

Решить систему уравнений матричным способом. Сделать проверку. \left\< \begin<aligned>2x_1-6x_2+4x_3+3x_4=-24\\ 2x_1+x_2+4x_3+5x_4=-5\\ x_1-6x_2-x_3+x_4=-2\\ 3x_1-3x_2-7x_3+9x_4=-8\\ \end <aligned>\right.

Ниже представлено решение через обратную матрицу. Найден определитель, чтобы убедиться в существовании решения.

2x_1-6x_2+4x_3+3x_4=-24

2x_1+x_2-4x_3+5x_4=-5

x_1-6x_2-x_3+x_4=-2

3x_1-3x_2-7x_3+9x_4=-8

A:=\begin<pmatrix>2 & -6 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & -4 & 5 \\ 1 & -6 & -1 & 1 \\ 3 & -3 & -7 & 9 \end<pmatrix>

B:=\begin<pmatrix>-24 \\ -5 \\ -2 \\ -8 \end<pmatrix>

|A|=-220

X:=A^<-1>\cdot B

X=\begin<pmatrix>-2.65 \\ 0 \\ -2.95 \\ -2.3 \end<pmatrix>

Проверка: A\cdot X=\begin<pmatrix>-24 \\ -5 \\ -2 \\ -8 \end<pmatrix>

Использование функции lsolve()

В системе MathCAD введена встроенная функция lsolve (A,B) , которая решает систему аналитически и возвращает вектор X для системы линейных уравнений A\cdot X=Bпри заданной матрице коэффициентов А и векторе свободных членов В .

Пример 4.7

Решить систему примера 4.6, используя функцию lsolve()

2x_1-6x_2+4x_3+3x_4=-24

2x_1+x_2-4x_3+5x_4=-5

x_1-6x_2-x_3+x_4=-2

3x_1-3x_2-7x_3+9x_4=-8

A:=\begin<pmatrix>2 & -6 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & -4 & 5 \\ 1 & -6 & -1 & 1 \\ 3 & -3 & -7 & 9 \end<pmatrix>

B:=\begin<pmatrix>-24 \\ -5 \\ -2 \\ -8 \end<pmatrix>

X:=lsolve(A,B)

X=\begin<pmatrix>-2.65 \\ 0 \\ -2.95 \\ -2.3 \end<pmatrix>

Символьное решение

Для решения применяем символьные преобразования. Преимуществом символьного решения является возможность решения уравнений в общем виде. Используем оператор Solve.

Пример 4.8

Пусть функции r (x,y) w(x,y) заданы системой уравнений. Найти r и w , решив систему.

\left\< \begin<aligned>xr+w=y^2\\ r+yw=x^2 \end <aligned>\right.

Записываем систему в виде матрицы, используя логическое равенство, решается система относительно r (x,y) w(x,y) ,они тоже записываются в виде матрицы.

\begin<pmatrix>xr+w=y^2 \\ r+yw=5 \end <pmatrix>solve,\begin <pmatrix>r \\ w \end <pmatrix>\to <(\frac<y^3-5> <xy-1>\frac<5x-y^2><xy-1>)>

r(x,y)=\frac<y^3-5><xy-1>

w(x,y)=\frac<5x-y^2><xy-1>

Пример 4.9

Решить аналитически систему уравнений:

\left\< \begin<aligned>5y1+4y2-y3=3\\ 3y1+2y2+3y3=6\\ 2y1+2.5y2+4y3=9 \end <aligned>\right.

На листинге показано точное решение системы и решение с точностью до 3 значащих цифр. Операторы solve и float набираются последовательно .

\begin<bmatrix>(5y1+4y2-y3=3) \\ (3y1+2y2+3y3=6) \\ (2y1+2.5y2-4y3=9) \end <bmatrix>solve,\begin <pmatrix>y1 \\ y2 \\ y3 \end<pmatrix>\to \\ \to (-17.833333333333333333\ 24.0\ 3.8333333333333333333)

\begin<bmatrix>(5y1+4y2-y3=3) \\ (3y1+2y2+3y3=6) \\ (2y1+2.5y2-4y3=9) \end <bmatrix>\begin <vmatrix>solve,\begin <pmatrix>y1 \\ y2 \\ y3 \end <pmatrix>\\ float, 3 \end <vmatrix>\to (-17.8 24.0 3.8)</p>
<p>Иногда сложные уравнения символьно не решаются, поэтому приходится обращаться к численным методам.</p>
<h5>Численное решение. Использование блока Given Find()</h5>
<p>Решение в скалярной форме. В данном методе система уравнений вводится без использования матриц, в

Пример 4.10

Решить систему уравнений, используя блок Given Find():

\left\< \begin<aligned>2×1+4×2-x3=7\\ x1+2×2+3×3=6\\ 0.5×1+2.5×2+4×3=5 \end <aligned>\right. " /></aligned></p>
<p>Предварительно указать начальные значения неизвестных. Это могут быть любые числа, входящие в область определения. (Часто за них принимают столбец свободных членов).</p>
<p><img src=, x2:=1, x3:=1

Given

2x1+4x2-x3=7

x1+2x2+3x3=6

0.5x1+2.5x2+-4x3=5

Find(x1,x2,x3)=\begin<pmatrix>-4.048 \\ 3.952 \\ 0.714 \end<pmatrix>

Zoloto585CPA

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *