Какие виды массивов существуют в mathcad

Zoloto585CPA

Лекция 1. Система математических расчетов MathCAD и особенности ее применения

Интегрированная компьютерная система MathCAD (Mathematical Computer Aided Design) является математическим редактором, позволяющим проводить разнообразные научные и инженерные расчеты, начиная от элементарной арифметики и заканчивая сложными реализациями численных методов. Пользователи MathCAD – это студенты, ученые, инженеры, разнообразные технические специалисты. Благодаря простоте применения, наглядности математических действий, обширной библиотеки встроенных функций и численных методов, возможности символьных вычислений, а также превосходному аппарату представления результатов (графики самых различных видов, мощных средств подготовки печатных документов и Web-страниц), MathCAD стал наиболее популярным математическим приложением. Эта система широко используется и для ведения экономических расчетов благодаря наличию встроенных функция для финансового анализа.

Лекция 1. Система математических расчетов MathCAD и особенности ее применения

Входной язык, встроенные функции и модули системы MathCAD

Лабораторное занятие 1: Вычисления и типы данных

Переменные, функции и операторы

Основные инструменты математики – это операции с переменными и функциями. В MathCAD переменные, операторы и функции реализованы в интуитивной форме, т.е. выражения в редакторе вводятся и вычисляются так, как они были бы написаны на листе бумаги. Порядок вычислений в документе MathCAD также очевиден: математические выражения и действия воспринимаются процессором слева направо и сверху вниз.

Переменные

Перед использованием переменных в выражении они должны быть определены. Чтобы определить переменную, достаточно ввести ее имя и присвоить ей некоторое значение. Для этого служит оператор присваивания, который можно ввести с помощью клавиши Двоеточие или с помощью кнопки Definition (Присваивание) на палитрах Calculator (Арифметика) или Evaluation (Вычисления).

Задание 5. Вычислить значение выражения, содержащего переменные:

Порядок выполнения задания:

1. Введите текстовую область Задание 5.

2. Установите маркер ввода правее и ниже текстовой области и, с помощью клавиатуры, введите следующую последовательность символов: t:2.5. На экране вы увидите результат выполнения операции присваивания t:=2.5.

3. Установите маркер ввода правее и ниже оператора присваивания и присвойте переменной g значение 9.81.

4. Установите маркер ввода правее и ниже второго оператора присваивания и нажмите следующую последовательность клавиш:

g * t ^ 2 Пробел / 2 Пробел Пробел =

5. Щелкните левой кнопкой по свободному месту документа и на экране вы увидите результат:

6. Сохраняете изменения в документе Арифметика.

Задание 6. Самостоятельно вычислите значение выражения

Ввести новое значение переменной можно как в виде числа, так и в виде математического выражения, содержащего другие переменные и функции. Например:

Функции

Функции в MathCAD записываются в обычной для математики форме f(x,y,…). Используемые в системе функции можно разделить на два вида: встроенные функции и функции, определенные пользователем. Применение функций обоих типов в расчетах совершенно одинаково с тем исключением, что любую встроенную функцию можно сразу использовать в любом месте документа, а пользовательскую функцию необходимо предварительно определить в документе до момента вычисления ее значения.

Ввод встроенных функций удобно осуществлять с помощью диалогового окна Insert Function (Вставить функцию), которое можно вызвать одноименной командой на панели инструментов Стандартные.

Рис. 2. Диалоговое окно для выбора стандартных функций

Перечень стандартных функций приведен в приложении 1.

Пользовательские функции могут содержать любое количество переменных, операторов и функций.

Задание 7. Определите функцию пользователя, выполнив следующие операции:

1. Введите текстовую область Задание 7.

2. Введите имя функции: f(x,y) и оператор присваивания.

3. Введите в появившийся местозаполнитель выражение, определяющее пользовательскую функцию, например: x 2 ·cos(x+y).

4. На экране появится запись:

Все переменные, присутствующие справа в выражении определения функции, либо должны входить в список аргументов функции (в скобках, слева после имени функции), либо должны быть определены ранее. В противном случае будет выведено сообщение об ошибке, причем имя неопределенной переменной будет выделено красным цветом.

Рис. 3. Сообщение об ошибке: Эта переменная или функция ранее не определена

Перечень возможных ошибок и их расшифровка приведены в приложении 2.

Если значение переменных, входящих в функцию определены, то значение этой функции может быть рассчитано с помощью вычислительного процессора MathCAD. Запуск вычислительного процессора осуществляется установкой символа Равно после имени функции. Например:

Вывод значений переменных и функций может быть осуществлен самыми различными способами, например:

Вводя знак равенства для вычисления математических выражений, вы применяете оператор вычисления, или численного вывода (numerical evaluation). Наряду с численным выводом, в MathCAD имеется возможность символьного, или аналитического, вычисления значения выражения. Для символьных вычислений имеется ряд специальных средств. Самое простое из них – это оператор символьного вывода (symbolic evaluation). Он обозначается символом g и в большинстве случаев применяется так же, как оператор численного вывода, однако внутренне различие между действием этих двух операторов огромно. Если численный вывод – это в обычном смысле этого слова «запрограммированный» расчет по формулам и численным методам, то символьный вывод – результат работы системы искусственного интеллекта, встроенной в MathCAD и называемой символьным процессором. Работа символьного процессора заключается в анализе самого текста математических выражений. Конечно, гораздо более узкий круг формул можно рассчитать символьно, хотя бы потому, что только небольшая часть математических задач допускает аналитическое решение.

Задание 8. Вычислите символьно следующее выражение B·sin(arcsin(C·x)), где B,C,x –некоторые переменные.

Порядок выполнения задания:

1. Введите текстовую область Задание 8.

2. Введите выражение

Для ввода arcsin(C·x) используйте встроенные функции диалогового окна Insert Function (Вставить функцию).

3. Выделите все выражение синей рамкой и вставьте оператор символьного вывода g Symbolic Evaluation (Символьный знак равенства), используя палитру Symbolic (Символы).

4. Нажмите клавишу Enter и вы получите выражение:

5. Сохраните изменения в текущем документе.

Операторы

Каждый оператор в MathCAD обозначает некоторое математическое действие в виде символа. В полном соответствии с терминологией, принятой в математике, ряд действий (например, сложение, деление, транспонирование матрицы и т.д.) реализован в MathCAD в виде встроенных операторов, а другие действия (например, sin, erf и т.п.) – в виде встроенных функций. Каждый оператор действует на одно или два числа (переменную или функцию), которые называются операндами. Операнды вводятся в соответствующие местозаполнители. Кнопки вызова операторов располагаются на панели инструментов Math (Математика) и вызываемых ее палитрах.

Арифметические операторы. Операторы, обеспечивающие основные арифметические действия, вводятся с палитры Calculator (Арифметика). Использование этих операторов никаких трудностей у пользователя не вызывает.

Вычислительные операторы. Вычислительные операторы вводятся в документ с помощью палитры Calculus (Матанализ). После ввода какого-либо вычислительного оператора имеется возможность вычислить его значение либо численно, нажав клавишу Равно, либо символьно, с помощью оператора символьного вывода.

Задание 9. Откройте новый документ и самостоятельно проделайте следующие операции:

1. Вычислите производные:

2. Вычислить определенный и неопределенный интеграл:

3. Вычислить суммы и произведения:

4. Вычислить пределы:

Сохраните документ в своей папке под именем Операторы.

Логические операторы. Результатом действия логических, или булевых, операторов являются только числа 0 (ложно) или 1 (истинно). Для ввода логических операторов используется палитра Boolean (Булево).

Задание 10. Самостоятельно выполните следующие логические операции.

1. Операции сравнения:

Обратите внимание на то, что в выражениях первый знак равенства означает Equal to (Булево равенство) и обозначается жирными штрихами, а второй знак равенства означает обычную операцию численного вычисления.

2. Булевы операторы:

Или (Or) И (And) Исключающее Или Отрицание (Not)

(Exclusive Or)

Сохраните изменения в текущем документе.

Остальные операторы, входящие в палитры, будут рассмотрены ниже.

Данные в MathCAD

Типы данных

Процессорами системы MathCAD обрабатываются следующие основные типы данных:

числа (в том числе, действительные, комплексные, а также встроенные константы) – MathCAD хранит все числа в формате двойной точности с плавающей точкой (не разделяя их на целые, булевы и т.п.);

строки – любой текст, заключенный в кавычки;

массивы (в том числе, ранжированные переменные, векторы и матрицы) – упорядоченные последовательности чисел или строк.

Действительные числа. Любое выражение, начинающееся с цифры, MathCAD интерпретирует как число. Несмотря на то, что MathCAD хранит все числа в одинаковом формате, вводить их можно в наиболее подходящем представлении, исходя из контекста документа:

— как целое число;

— как десятичное число с любым количеством десятичных цифр после точки;

— в представлении с порядком – в так называемом научном формате;

— как числа в других системах счисления.

Задание 11. Введите следующие действительные числа:

Комплексные числа. Большинство операций в среде MathCAD по умолчанию осуществляется над комплексными числами. Комплексное число является суммой действительного и мнимого числа, получающегося путем умножения любого действительного числа на мнимую единицу i. По определению, или .

Задание 12. Введите следующие комплексные переменные и выведите их значение:

Встроенные константы. Некоторые имена в MathCAD зарезервированы под системные переменные, которые называются встроенными константами. Встроенные константы делятся на два типа: математические, хранящие значения некоторых общеупотребляемых специальных математических символов, и системные, определяющие работу большинства численных алгоритмов, реализованных в MathCAD.

Математические константы (math constants):

— e – основание натурального логарифма;

— i,j – мнимая единица;

— % символ процента, эквивалентный 0,01.

Математические константы по-разному интерпретируются при численных и символьных вычислениях. Вычислительный процессор просто воспринимает их как некоторые числа, а символьный распознает каждую их них, исходя из математического контекста в качестве результата.

Системные переменные (system variables):

— TOL – точность численных методов;

— CTOL – точность выполнения выражений, используемая в некоторых численных методах;

— ORIGIN – номер начального индекса в массивах;

— PRNPRECISION – установка формата данных при выводе в файл;

— PRNCOLWIDTH – установка формата столбца при выводе в файл;

— CWD – строковое представление пути к текущей рабочей папке.

Значения системных переменных, назначенные по умолчанию:

Их можно поменять в любой части документа, присвоив соответствующей переменной новое значение. Кроме того, предопределение значения переменной для всего документа производится при помощи вкладки Built-In Variables (Переменные) диалогового окна Math Options (Параметры), которое открывается командой Math, Options (Математика, Параметры) (рис. 4).

Рис. 4. Диалоговое окно для установки системных переменных

Чтобы в любой момент вернуть значения по умолчанию нажмите кнопку Restore Defaults (Восстановить по умолчанию).

Строковые выражения. Значением переменной или функции может быть не только число, но и строка, состоящая из любой последовательности символов, заключенных в кавычки. Например:

Размерные переменные

В MathCAD числовые переменные и функции могут обладать размерностью. Сделано это для упрощения инженерных и физических расчетов. В систему встроено большое количество единиц измерения, с помощью которых и создаются размерные переменные.

Задание 13. Создайте размерную переменную, определяющую силу тока в 10 ампер, выполнив следующие команды:

1. Присвойте переменной I значение10.

2. Сразу после ввода 10 введите символ умножения.

3. Откройте диалоговое окно Insert Unit (Вставить Единицы) с помощью команды Insert, Unit (Вставка, Единицы измерения).

4. В списке Unit (Единицы) выберите нужную единицу измерения Ampere (A) и нажмите кнопку ОК.

Работая с размерными переменными, приготовьтесь к тому, что MathCAD будет постоянно контролировать корректность расчетов. Например, нельзя складывать переменные разной размерности, в противном случае будет получено сообщение об ошибке. Над размерными переменными можно производить любые корректные с физической точки зрения расчеты. Например:

Результат выведен не в Омах. Можно поменять единицу измерения с помощью диалогового окна Вставить Единицы или включить автоматический перевод единиц измерения в более простые единицы. Для этого в диалоговом окне Формат Результата (Result Format), открывающемся командой Формат, Результат, на вкладке, посвященной размерностям (Отображение модулей, Unit Display) установить флажок Упрощать модули когда возможно (Simplify units when possible).

Массивы

Массивами (arrays) называют упорядоченные последовательности чисел, или элементов массива. Доступ к любому элементу массива возможен по индексу, т. е. номеру. Например:

В MathCAD условно выделяют два типа массивов:

1. Векторы (одноиндексные массивы), матрицы (двухиндексные массивы) и тензоры (многоиндексные).

2. ранжированные переменные (range variables) – векторы, элементы которых определенным образом зависят от их индекса.

Двухмерный массив (матрица) имеет следующий вид:

Создание массивов

Существует несколько способов создания массива:

— ввод всех элементов вручную с помощью диалогового окна Insert Matrix (Вставить матрицу);

— определение отдельных элементов массива;

— создание таблицы данных и ввод в нее чисел;

— применения встроенных функций создания массива;

— создание связей с другим приложением, например, Excel или MATLAB;

— чтение из внешнего файла данных;

— импорт их внешнего файла данных.

Самый простой и наглядный способ создания вектора или матрицы — использование диалогового окна:

1. Откройте новый документ.

2. Нажмите кнопку Matrix or Vector (Создать матрицу или вектор) на палитре Matrix (Матрица), либо выберите команду меню Insert, Matrix (Вставка, Матрица), либо набор клавиш Ctrl и M.

3. В диалоговом окне Insert Matrix (Вставка матрицы) укажите число строк и столбцов, например, 3х1.

4. Нажмите кнопку ОК или Insert (Вставка) – в результате в документ будет введена заготовка матрицы с определенным числом строк и столбцов.

5. Введите любые значения в местозаполнители элементов матрицы.

В местозаполнители элементов матрицы можно вставлять не только числа (действительные или комплексные), но и любые математические выражения, состоящие из переменных, операторов, встроенных и пользовательских функций.

Задание 14. Реализуйте следующий пример:

Определение отдельных элементов – удобный способ создания тензоров (многоиндексных массивов). Можно создать тензор путем определения вложенного массива. Для этого необходимо присвоить каждому элементу массива значение в виде другого вектора ими матрицы.

Задание 15. Создайте тензор, выполнив следующие операции:

1. Определите элементы тензора как векторы:

2. Выведите полученную матрицу командой

3. выведите элементы тензора:

4. Обратите внимание на то, что система по умолчанию не отображает трехмерную структуру тензора, а вместо этого показывает информацию о размерах каждого элемента матрицы s. Развернуть вложенные массивы можно с помощью вкладки Display Options (Параметры экрана) диалогового окна Формат результата, открываемого командой Format, Result (Формат, Результат). На вкладке нужно выставить флажок Expand Nested Arrays (Развернуть вложенные массивы). Тензор будет выглядеть так:

5. Сохраните документ под именем Массивы.

В документе MathCAD могут присутствовать разнообразные объекты, созданные в других приложениях, например, Microsoft Excel.

Задание 16. Создайте матрицу с помощью таблицы ввода, выполнив следующие операции:

1. Выберите место на документе для размещения нового фрагмента.

2. Откройте диалоговое окно Component Wizard (Мастер компонентов) командой Insert, Component (Вставка, Компонент), в списке выберите команду Input table (Таблица ввода) и нажмите кнопку Finish (Финиш).

3. Вставьте имя матрицы в местозаполнитель и введите данные в ячейки таблицы

4. Выведите значение матрицы

5. Сохраните изменения в текущем документе.

По умолчанию нумерация индексов массивов начинается с нуля. Стартовый индекс задается значением переменной ORIGIN. Если вы привыкли нумеровать элементы векторов и матриц с единицы, присвойте этой переменной значение равное 1.

С другими способами создания массивов можно познакомиться в [1].

Ранжированные переменные

Ранжированные переменные (дискретные переменные) в MathCAD являются разновидностью векторов и предназначены, главным образом, для создания циклов или итерационных вычислений. Простейший пример ранжированной переменной – это массив с числами, лежащими в некотором диапазоне с некоторым шагом. Например:

Задание 17. Создайте несколько ранжированных переменных, выполнив следующие команды:

1. Выберите место расположения переменной.

2. Введите имя переменной и оператор присваивания

Рис. 5. Создание ранжированной переменной

3. Нажмите кнопку Range Variable (Задать диапазон дискретной величины) на палитре Matrix (Матрицы), либо введите символ точки с запятой с помощью клавиатуры.

4. В появившиеся местозаполнители (рис. 5) ведите левую и правую границу диапазона изменения ранжированной переменной, например: 0 и 5 и нажмите клавишу Enter.

5. Выведите значение дискретной переменной.

6. Чтобы создать ранжированную переменную с шагом отличные от 1, выполните следующие шаги:

— введите имя переменной, оператор присваивания и создайте ранжированную переменную y.

— в первый местозаполнитель введите левую границу диапазона (первый элемент массива), затем вставьте запятую и запишите значение второго элемента.

— во второй местозаполнитель вставьте последнее значение диапазона, нажмите клавишу Enter и выведите значения созданной ранжированной переменной

7. Сохраните изменения в текущем документе.

Реализуйте следующие примеры использования ранжированных переменных:

Последнее задание:

1. Самостоятельно формулируйте выводы из проведенных исследований.

2. Сохраните результаты всей работы в отдельной папке.

Двумерная графика

XY-график двух векторов

Самый простой способ получения декартового графика – это сформировать два вектора данных, которые будут отложены вдоль осей X иY.

Задание 1. Построить график двух векторов x и y, выполнив следующие операции:

1. Откройте новый документ.

2. Введите ранжированную переменную i:

3. Определите элементы двух векторов:

4. Выведите значения векторов x и y:

Рис. 6. Построение графика двух векторов

5. На панели инструментов Math (Математика) нажмите кнопку с изображением графиков (Инструменты графиков). Откроется палитра Graph (Графики), на которой нужно выбрать команду X-Y Plot (Декартов график).

6. В местозаполнители возле осей введите имена векторов x и y. (В местозаполнители можно ввести элементы векторов xi и yi ). Щелкните по пустому месту документа и получите график двух векторов. На графике отложены точки, соответствующие парам элементов векторов, соединенные отрезками прямых линий. Используя угловой маркер, увеличьте размер графика.

7. Сохраните документ в своей папке под именем Графика 2.

XY-график функции

Нарисовать график любой скалярной функции f(x) можно двумя способами. Первый способ заключается в дискретизации значений функции, присвоении этих значений вектору и прорисовке графика вектора. Второй, более простой способ, называемый быстрым построением графика, заключается во введении функции в одно из местозаполнителей, а имени аргумента – в местозаполнитель у другой оси. В результате MathCAD сам создаст график функции в пределах значений аргумента, по умолчанию принятых равными от -10 до10. Разумеется, впоследствии можно поменять диапазон значений аргумента, и график автоматически подстроится под него. На рис. 8 представлен график функции sin(x), построенный быстрым способом. Второй график представлен с учетом изменений значений аргумента. При таком способе построения графика корректировать шаг изменения аргумента нельзя, и не все функции можно представить таким образом (в основном, только элементарные).

Рис. 8. Быстрое построение графика функции

Необходимо заметить, что если переменной аргумента функции было присвоено некоторое значение до построения в документе графика, то вместо быстрого построения графика будет нарисована зависимость функции с учетом этого значения. Примеры двух таких графиков приведены на рис. 9.

Рис. 9. Графики функций от векторного аргумента

Сохраните изменения в текущем документе.

Полярный график

Для создания полярного графика необходимо нажать кнопку Polar Plot (Полярный график) на палитре Graph (Графики) и поместить в местозаполнители имена переменных и функций, которые будут нарисованы в полярной системе координат (рис. 10).

Сохраните изменения в текущем документе.

Форматирование осей

Возможности форматирования координатных осей графиков включают в себя управление их внешним видом, диапазоном, шкалой, нумерацией и отображением некоторых значений на осях при помощи маркеров.

Изменение диапазона осей. Когда график создается впервые, MathCAD выбирает представленный диапазон для обеих координатных осей автоматически. Чтобы изменить этот диапазон:

1. Постройте график зависимости sin(z) быстрым способом. Диапазон по оси x изменяется от -10 до10.

2. Перейдите к редактированию графика, щелкнув в его пределах мышью (рис. 14).

Рис. 14. Изменение диапазонов осей

3. График будет выделен, а вблизи каждой из осей появится два поля с числами, обозначающими границы диапазона.

4. Измените диапазон оси z на (0,20) и второй оси – на (-2,2). Получится новый график (рис. 15)

Рис. 15. Результат изменения диапазонов осей

5. Сохраните изменения в текущем документе.

Форматирование шкалы. Изменение внешнего вида шкалы, нанесенной на координатную ось, производится с помощью диалогового окна Formatting Currently Selected X-Y Plot (Форматирование выбранного графика), в котором следует выбрать вкладку X-Y Axes (Оси X-Y) (рис.16).

Вызвать окно можно двойным щелчком мыши в области графика или выполнением команды Format, Graph, X-Y Plot (Формат, График, X-Y зависимость), или выбором в контекстном меню команды Format (Формат).

С помощью флажков и переключателей легко поменять внешний вид каждой из осей:

Log Scale (Логарифмическая шкала) – график по этой оси будет нарисован в логарифмическом масштабе. Это полезно если данные разнятся на несколько порядков;

Grid Lines (Вспомогательные линии) – показывают линии сетки;

Numbered (Нумерация) – если убрать флажок, то числа, размечающие шкалу, пропадут.

Autoscale (Автомасштаб) – выбор диапазонов оси производится автоматически;

Show Markers (Показать метки) – выделение значений на осях;

AutoGrid (Авто сетка) – разбиение шкалы производится автоматически;

Equal Scales (Равные масштабы) – при снятом флажке оси x и y принудительно рисуются в одинаковом масштабе;

Рис. 16. Окно для форматирования шкалы

Axes Style (Стиль осей графика) – можно выбрать один из трех видов системы координат:

o Boxed (Ограниченная область) – область графика ограничена прямоугольником;

o Crossed (Пересечение) – координатные оси в виде двух пересекающихся прямых;

o None (Без границ) – координатные оси не показаны на графике.

Задание 2. На примере графиков, приведенных на рис. 17, исследуйте возможности флажков и переключателей диалогового окна Formatting Currently Selected X-Y Plot (Форматирование выбранного графика).

Рис. 17. Линии сетки на декартовом и полярном графиках, вид осей -Crossed

Сохраните изменения в текущем документе.

Форматирование рядов данных

С помощью вкладки Traces (След) диалогового окнаFormatting Currently Selected X-Y Plot (Форматирование выбранного графика) (рис.18) легко установить комбинацию параметров линий и точек для каждой из кривых (рядов данных), представленных на графике. На этой вкладке регулируются следующие параметры:

Legend Label (Имя легенды) – текст легенды, описывающий ряд данных. Легенда обычно разъясняет смысл различных параметров;

Рис. 18. Вкладка для форматирования рядов данных

Symbol (Символ) – определяет символ, с помощью которого рисуются линии;

Line (Линия) – стиль линии:

o solid (сплошной);

o dot (пунктир);

o dash (штрих);

o dadot (штрихпунктир).

Color (Цвет) – цвет линий и точек данных;

Weight (Толщина) – толщина линий и точек данных;

Type(Тип) – тип представления данных:

o lines (линия);

o points (точки);

o error (ошибки);

o bar (столбцы);

o step (шаг);

o draw (рисунок);

o stem (стержень);

o solid bar (гистограмма).

Задание 3. Используя копию последних графиков, исследуйте на ней возможности вкладки Traces (След). Результаты исследований сохраните в текущем документе.

Вкладка Labels (Метки) диалогового окна Formatting Currently Selected X-Y Plot (Форматирование выбранного графика) позволяет присвоить графику и его осям соответствующие заголовки.

Трехмерная графика

Создание трехмерной графики

Чтобы создать трехмерный график достаточно на палитре Graph (Графики) нажать кнопку с изображением трехмерного графика (3D точечный график). В результате появится пустая область графика с тремя осями и единственным местозаполнителем.

Пример быстрого построения трехмерного графика приведен на рис. 21.

Откройте новый документ и постройте график функции:

Рис. 21. Быстрое построение трехмерного графика

Используя указатель мыши можно развернуть график в любом направлении и получить наглядное отображение, удерживая левую кнопку.

Изменить тип графика можно с помощью диалогового окна 3-D Plot Format (Формат 3-D графика), которое вызывается с помощью команды Формат (Format) контекстного меню (рис.22). Используя переключатели поля Display As (Показать как) на вкладке General (Общие) можно выбрать следующие типы графиков: Surface Plot (Поверхностный график), Contour Plot (Контурный график), Data Points (Точки данных), Vector Field Plot (Векторный график поля), Bar Plot (Диаграммный график), Patch Plot (График заплаты).Реализуйте примеры, представленные на рис. 23 и рис.23а.

Рис. 22. диалоговое окно для работы с трехмерным графиком

Поверхностный график Контурный график

Рис. 23. Различные типы трехмерных графиков

Диаграммный график График Заплаты

Рис. 24а. Различные типы трехмерных графиков

Задание 4. Построить различные трехмерные графики, заданные матрицей:

Сохраните все построенные трехмерные графики в своей папке.

Символьная алгебра

Символьный процессор MathCAD позволяет решить многие задачи математики аналитически без применения численных методов и, соответственно, без погрешностей вычисления. Символьные вычисления система может осуществлять в двух различных вариантах:

1. С помощью команд меню.

2. С помощью оператора символьного вывода g, ключевых слов символьного процессора и обычных формул (символьные вычисления в реальном времени).

Первый способ более удобен, когда требуется быстро получить какой-либо аналитический результат для однократного использования, не сохраняя сам ход вычислений. Второй способ более нагляден, т.к. позволяет записывать выражения в традиционной математической форме и сохранять символические вычисления в документах MathCAD. Кроме того, аналитические преобразования, проводимые через меню, касаются только одного, выделенного в данный момент, выражения. Соответственно, на них не влияют формулы, находящиеся в документе MathCAD выше этого выделенного выражения (например, операторы присваивания значений каким-либо переменным). Оператор символьного вывода, напротив, учитывает все предыдущее содержимое документа и выдает результат с его учетом.

Для символьных вычислений при помощи команд предназначено меню Символы (Symbolics), объединяющие математические операции, которые MathCAD умеет выполнять аналитически (рис. 27).

Для реализации второго способа применяются все средства MathCAD, пригодные для численных вычислений, и специальная палитра Символы (Symbolics), которую можно вызвать нажатием кнопки Символьные операторы на панели инструментов Математика (Math).В палитре Символы (Symbolics) находятся кнопки, соответствующие специфическим командам символьных преобразований. Например, такие как разложение выражения на множители, расчет преобразования Лапласа и другим операциям, которые в MathCAD нельзя проводить численно, и для которых, соответственно, не предусмотрены встроенные функции.

Рассмотрим оба типа символьных вычислений на простых примерах.

1.1.Разложение выражений (Expand)

Операция символьного разложения, или расширения, выражений составляет основу тождественных преобразований. В ходе разложения раскрываются все суммы и произведения, а сложные тригонометрические зависимости разлагаются с помощью тригонометрических тождеств.

Рис. 28. Окно системы MathCAD, содержащее меню и палитру Символы

Задание 1. Разложите выражение sin(2x), выполнив следующие операции:

Папиллярные узоры пальцев рук — маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни.

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

Пособие MathCAD

При щелчке на кнопке математической панели инструментов открывается дополнительная панель:

Панель калькулятора

Панель исчислений

Панель графики

Булевая панель

Панель векторов и матриц

Панель греческих символов

Панель оценки

Панель программирования

2. Элементы языка MathCAD

К основным элементам математических выражений MathCAD относятся операторы, константы, переменные, массивы и функции.

2.1 Операторы

Операторы — элементы MathCAD, с помощью которых можно создавать математические выражения. К ним, например, относятся символы арифметических операций, знаки вычисления сумм, произведений, производной, интеграла и т.д.

а) действие, которое должно выполняться при наличии тех или иных значений операндов;

б) сколько, где и какие операнды должны быть введены в оператор.

Операнд — число или выражение, на которое действует оператор. Например, в выражении 5!+3 числа 5! и 3 — операнды оператора «+» (плюс), а число 5 — операнд факториала (!).

Любой оператор в MathCAD можно ввести двумя способами:

нажав клавишу (сочетание клавиш) на клавиатуре;

используя математическую панель.

Для присвоения или вывода содержимого ячейки памяти, связанной с переменной, используются следующие операторы:

— знак присвоения (вводится нажатием клавиши : на клавиатуре (двоеточие в английской раскладке клавиатуры) или нажатием соответствующей кнопки на панели Калькулятор);

Такое присвоение называется локальным. До этого присваивания переменная не определена и ее нельзя использовать.

— глобальный оператор присвоения. Это присвоение может производиться в любом месте документа. К примеру, если переменной присвоено таким образом значение в самом конце документа, то она будет иметь это же значение и в начале документа.

— оператор приближенного равенства (x1). Используется при решении систем уравнений. Вводится нажатием клавиши; на клавиатуре (точка с запятой в английской раскладке клавиатуры) или нажатием соответствующей кнопки на Булевой панели.

= — оператор (простое равно), отведенный для вывода значения константы или переменной.

Простейшие вычисления

Процесс вычисления осуществляется при помощи:

Панели Калькулятора, Панели Исчислений и Панели Оценки.

Внимание. Если необходимо поделить все выражение в числителе, то его нужно первоначально выделить, нажав пробел на клавиатуре или поместив в скобки.

2.2 Константы

Константы поименованные объекты, хранящие некоторые значения, которые не могут быть изменены.

Размерные константы — это общепринятые единицы измерения. Например, метры, секунды и т.д.

Чтобы записать размерную константу, необходимо после числа ввести знак * (умножить), выбрать пункт меню Вставка подпункт Юнит. В измерениях наиболее известные вам категории: Length — длина (м, км, см); Mass — вес (гр, кг, т); Time — время (мин, сек, час).

2.3 Переменные

Переменные являются поименованными объектами, имеющими некоторое значение, которое может изменяться по ходу выполнения программы. Переменные могут быть числовыми, строковыми, символьными и т.д. Значения переменным задаются с помощью знака присвоить (: =).

Внимание. MathCAD прописные и строчные буквы воспринимает как разные идентификаторы.

Системные переменные

В MathCAD содержится небольшая группа особых объектов, которые нельзя отнести ни к классу констант, ни к классу переменных, значения которых определены сразу после запуска программы. Их правильнее считать системными переменными. Это, например, TOL [0.001]- погрешность числовых расчетов, ORIGIN [0] — нижняя граница значения индекса индексации векторов, матриц и др. Значения этим переменным при необходимости можно задать другие.

Ранжированные переменные

Эти переменные имеют ряд фиксированных значений, либо целочисленных, либо изменяющихся с определенным шагом от начального значения до конечного.

Для создания ранжированной переменной используется выражение:

Zoloto585CPA

Name =N>begin>,(N>begin>+Step)..N>end>,

где Name — имя переменной;

N>begin> — начальное значение;

Step — заданный шаг изменения переменной;

N>end> — конечное значение.

Ранжированные переменные широко применяются при построении графиков. Например, для построения графика некоторой функции f(x) прежде всего необходимо создать ряд значений переменной x — для этого она должна быть ранжированной переменной.

>Внимание. Если в диапазоне изменения переменной не указывать шаг, то программа автоматически примет его равным 1.>

Пример. Переменная x изменяется в диапазоне от –16 до +16 с шагом 0.1

Чтобы записать ранжированную переменную, нужно ввести:

— имя переменной (x);

— первое значение диапазона (–16);

— второе значение диапазона, которое является суммой первого значения и шага (–16+0.1);

— многоточие (..) — изменение переменной в заданных пределах (многоточие вводится нажатием точки с запятой в английской раскладке клавиатуры);

— последнее значение диапазона (16).

В результате у вас получится: x := –16,–16+0.1..16>.>

>Таблицы вывода>

>Любое выражение с ранжированными переменными после знака равенства инициирует таблицу вывода.>

>В таблицы вывода можно и вставлять числовые значения и корректировать их.>

>Переменная с индексом>

>Переменная с индексом — это переменная, которой присвоен набор не связанных друг с другом чисел, каждое из которых имеет свой номер (индекс).>

>Ввод индекса осуществляется нажатием левой квадратной скобки на клавиатуре или при помощи кнопки xn на панели Калькулятор.>

>В качестве индекса можно использовать как константу, так и выражение. Для инициализации переменной с индексом необходимо ввести элементы массива, разделяя их запятыми.>

>Пример.>> Ввод индексных переменных.>

>i>>:= 0..2 — индекс изменяется от 0 до 2 (индексная переменная будет содержать 3 элемента).>

— ввод числовых значений в таблицу производится через запятую;

— вывод значения первого элемента вектора S ;

— вывод значения нулевого элемента вектора S .

Массив — имеющая уникальное имя совокупность конечного числа числовых или символьных элементов, упорядоченных некоторым образом и имеющих определенные адреса.

В пакете MathCAD используются массивы двух наиболее распространенных типов:

Вывести шаблон матрицы или вектора можно одним из способов:

выбрать пункт меню Вставка — Матрица;

нажать комбинацию клавиш Ctrl + M;

нажать кнопку на Панели векторов и матриц.

В результате появится диалоговое окно, в котором задается необходимое число строк и столбцов:

Rows — число строк

Columns — число столбцов

Если матрице (вектору) нужно присвоить имя, то вначале вводится имя матрицы (вектора), затем — оператор присвоения и после — шаблон матрицы.

Н

Матрица — двухмерный массив с именем М>n>>,>>m>, состоящий из n строк и m столбцов.

С матрицами можно выполнять различные математические операции.

2.5 Функции

Функция — выражение, согласно которому производятся некоторые вычисления с аргументами и определяется его числовое значение. Примеры функций: sin(x), tan(x) и др.

Функции в пакете MathCAD могут быть как встроенными, так и определенными пользователем. Способы вставки встроенной функции:

Выбрать пункт меню Вставка – Функция.

Нажать комбинацию клавиш Ctrl + E.

Щелкнуть по кнопке на панели инструментов.

Набрать имя функции на клавиатуре.

Функции пользователя обычно используются при многократных вычислениях одного и того же выражения. Для того чтобы задать функцию пользователя необходимо:

ввести имя функции с обязательным указанием в скобках аргумента, например, f(x);

ввести оператор присвоения (:=);

ввести вычисляемое выражение.

Пример. f(z) := sin(2z 2 )

3. Форматирование чисел

В MathCAD можно изменить формат вывода чисел. Обычно вычисления производятся с точностью 20 знаков, но выводятся на экран не все значащие цифры. Чтобы изменить формат числа, необходимо дважды щелкнуть на нужном численном результате. Появится окно форматирования чисел, открытое на вкладке Number Format (Формат чисел) со следующими форматами:

General (Основной) — принят по умолчанию. Числа отображаются с порядком (например, 1.2210 5 ). Число знаков мантиссы определяется в поле Exponential Threshold (Порог экспоненциального представления). При превышении порога число отображается с порядком. Число знаков после десятичной точки меняется в поле Number of decimal places.

Decimal (Десятичный) — десятичное представление чисел с плавающей точкой (например, 12.2316).

Scientific (Научный) — числа отображаются только с порядком.

Engineering (Инженерный) — числа отображаются только с порядком, кратным трем (например, 1.2210 6 ).

Внимание. Если после установления нужного формата в окне форматирования чисел выбрать кнопку Ок, формат установится только для выделенного числа. А если выбрать кнопку Set as Default, формат будет применен ко всем числам данного документа.

Автоматически числа округляются до нуля, если они меньше установленного порога. Порог устанавливается для всего документа, а не для конкретного результата. Для того чтобы изменить порог округления до нуля, необходимо выбрать пункт меню Форматирование – Результат и во вкладке Tolerance, в поле Zero threshold ввести необходимое значение порога.

4. Работа с текстом

>Текстовые фрагменты представляют собой куски текста, которые пользователь хотел бы видеть в своем документе. Это могут быть пояснения, ссылки, комментарии и т.д. Они вставляются при помощи пункта меню >>Вставка>> >>>> >>Текстовый регион>>.>

>Вы можете отформатировать текст: поменять шрифт, его размер, начертание, выравнивание и т.д. Для этого нужно его выделить и выбрать соответствующие параметры на панели шрифтов или в меню >>Форматирование>> >>>> >>Текст>>.>

5. Работа с графикой

При решении многих задач, где производится исследование функции, часто возникает необходимость в построении ее графика, где наглядно будет отражено поведение функции на определенном промежутке.

В системе MathCAD существует возможность построения различных видов графиков: в декартовой и полярной системе координат, трехмерных графиков, поверхностей тел вращения, многогранников, пространственных кривых, графиков векторного поля. Мы рассмотрим приемы построения некоторых из них.

>5.1>> Построение двухмерных графиков>

Для построения двухмерного графика функции необходимо:

задать диапазон значений аргумента;

установить курсор в то место, где должен быть построен график, на математической панели выбрать кнопку Graph (график) и в открывшейся панели кнопку X-Y Plot (двухмерный график);

в появившемся шаблоне двухмерного графика, представляющем собой пустой прямоугольник с метками данных, в центральную метку данных по оси абсцисс (ось X) ввести имя переменной, а на месте центральной метки данных по оси ординат (ось Y) ввести имя функции (рис. 2.1);\

Рис. 2.1. Шаблон двухмерного графика

щелкнуть мышью вне шаблона графика — график функции будет построен.

Диапазон изменения аргумента состоит из 3-х значений: начальное, второе и конечное.

Пусть необходимо построить график функции на интервале [-2,2] с шагом 0.2. Значения переменной t задаются в виде диапазона следующим образом:

t:= –2, –1.8 .. 2,

где: –2 — начальное значение диапазона;

–1.8 (–2 + 0.2) — второе значение диапазона (начальное значение плюс шаг);

2 конечное значение диапазона.

!Внимание. Многоточие вводится нажатием точки с запятой в английской раскладке клавиатуры.

Пример. Построение графика функции y = x 2 на интервале [–5,5] с шагом 0.5 (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Построение графика функции y = x 2

При построении графиков необходимо учитывать следующее:

Если диапазон значений аргумента не задан, то по умолчанию график строится в диапазоне [–10,10].

Если в одном шаблоне необходимо разместить несколько графиков, то имена функций указываются через запятую.

Если две функции имеют различные аргументы, например f1(x) и f2(y), то на оси ординат (Y) через запятую указываются имена функций, а по оси абсцисс (X) — имена обеих переменных тоже через запятую.

Крайние метки данных на шаблоне графика служат для указания предельных значений абсцисс и ординат, т.е. они задают масштаб графика. Если оставить эти метки незаполненными, то масштаб будет установлен автоматически. Автоматический масштаб не всегда отражает график в нужном виде, поэтому предельные значения абсцисс и ординат приходится редактировать, изменяя вручную.

Примечание. Если после построения график не принимает нужный вид, можно:

изменить интервал построения графика.

уменьшить на графике предельные значения абсцисс и ординат.

Пример. Построение окружности с центром в точке (2,3) и радиусом R = 6.

Уравнение окружности с центром в точке с координатами (x>0>,y>0>) и радиусом R записывается в виде:

Выразим из этого уравнения y:

Таким образом, для построения окружности необходимо задать две функции: верхнюю и нижнюю полуокружности. Диапазон значений аргумента вычисляется следующим образом:

начальное значение диапазона = x>0> – R;

конечное значение диапазона = x>0> + R;

шаг лучше взять равным 0.1 (рис. 2.3.).

Рис. 2.3. Построение окружности

Параметрический график функции

Иногда бывает удобнее вместо уравнения линии, связывающего прямоугольные координаты x и y, рассматривать так называемые параметрические уравнения линии, дающие выражения текущих координат x и y в виде функций от некоторой переменной величины t (параметра): x(t) и y(t). При построении параметрического графика на осях ординат и абсцисс указываются имена функций одного аргумента.

Пример. Построение окружности с центром в точке с координатами (2,3) и радиусом R = 6. Для построения используется параметрическое уравнение окружности

x = x>0 >+ Rcos(t) y = y>0 >+ Rsin(t) (рис. 2.4.).

Рис.2.4. Построение окружности

Форматирование графиков

Чтобы отформатировать график, необходимо дважды щелкнуть по области графика. Откроется диалоговое окно форматирования графика. Ниже перечислены вкладки окна форматирования графика:

XY Axes форматирование осей координат. Установив нужные флажки можно:

Log Scale представить численные значения на осях в логарифмическом масштабе (по умолчанию численные значения наносятся в линейном масштабе)

Grid Lines нанести сетку линий;

Numbered расставить числа по координатным осям;

Auto Scale автоматический выбор предельных численных значений на осях (если этот флажок снят, предельными будут максимальные вычисленные значения);

Show Marker — нанесение меток на график в виде горизонтальных или вертикальных пунктирных линий, соответствующих указанному значению на оси, причем сами значения выводятся в конце линий (на каждой оси появляются 2 места ввода, в которые можно ввести численные значения, не вводить ничего, ввести одно число или буквенные обозначения констант);

Auto Grid — автоматический выбор числа линий сетки (если этот флажок снят, надо задать число линий в поле Number of Grids);

Crossed ось абсцисс проходит через нуль ординаты;

Boxed — ось абсцисс проходит по нижнему краю графика.

Trace — форматирование линии графиков функций. Для каждого графика в отдельности можно изменить:

символ (Symbol) на графике для узловых точек (кружок, крестик, прямоугольник, ромб);

вид линии (Solid — сплошная, Dot — пунктир, Dash — штрихи, Dadot — штрих-пунктир);

цвет линии (Color);

тип (Туре) графика (Lines — линия, Points — точки, Ваr или Solidbar — столбики, Step — ступенчатый график и т.д.);

толщину линии (Weight).

Label — заголовок в области графика. В поле Title (Заголовок) можно записать текст заголовка, выбрать его положение — вверху или внизу графика (Above — вверху, Below — внизу). Можно вписать, если надо, названия аргумента и функции (Axis Labels).

Defaults — с помощью этой вкладки можно вернуться к виду графика, принятому по умолчанию (Change to default), либо сделанные вами изменения на графике использовать по умолчанию для всех графиков данного документа (Use for Defaults).

5.2 Построение полярных графиков

Для построения полярного графика функции необходимо:

задать диапазон значений аргумента;

установить курсор в то место, где должен быть построен график, на математической панели выбрать кнопку Graph (график) и в открывшейся панели кнопку Polar Plot (полярный график);

в местах ввода появившегося шаблона необходимо ввести угловой аргумент функции (внизу) и имя функции (слева).

Пример. Построение лемнискаты Бернулли: (рис. 2.6.)

Рис.2.6. Пример построения полярного графика

5.3 Построение графиков поверхностей (трехмерные или 3D-графики)

При построении трехмерных графиков используется панель Graph (График) математической панели. Можно построить трехмерный график с помощью мастера, вызываемого из главного меню; можно построить график, создав матрицу значений функции двух переменных; можно задействовать ускоренный метод построения; можно вызвать специальные функции CreateMech и CreateSpase, предназначенные для создания массива значений функции и построения графика. Мы рассмотрим ускоренный метод построения трехмерного графика.

Быстрое построение графика

Для быстрого построения трехмерного графика функции необходимо:

установить курсор в то место, где должен быть построен график, на математической панели выбрать кнопку Graph (График) и в открывшейся панели кнопку (Поверхностный график);

в единственное место шаблона введите имя функции (не указывая переменные);

щелкнуть мышью вне шаблона графика — график функции будет построен.

Пример. Построение графика функции z(x,y) = x 2 + y 2 – 30 (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Пример быстрого построения поверхностного графика

Построенным графиком можно управлять:

вращение графика выполняется после наведения на него указателя мыши при нажатой левой кнопке мыши;

масштабирование графика выполняется после наведения на него указателя мыши при одновременном нажатии левой кнопки мыши и клавиши Ctrl (если двигать мышь, график приближается или удаляется);

анимация графика выполняется аналогично, но при нажатой дополнительно клавише Shift. Необходимо только начать вращение графика мышью, дальше анимация будет выполняться автоматически. Для остановки вращения следует щелкнуть левой кнопкой мыши внутри области графика.

Существует возможность построения сразу нескольких поверхностей на одном рисунке. Для этого необходимо задать обе функции и через запятую указать имена функций на шаблоне графика.

При быстром построении графика по умолчанию выбираются значения обоих аргументов в пределах от –5 до +5 и число контурных линий, равное 20. Для изменения этих значений необходимо:

дважды щелкнуть по графику;

в открывшемся окне выбрать вкладку Quick Plot Data;

ввести новые значения в области окна Range1 — для первого аргумента и Range2 — для второго аргумента (start — начальное значение, end — конечное значение);

в поле # of Grids изменить число линий сетки, покрывающих поверхность;

щелкнуть на кнопке Ок.

Пример. Построение графика функции z(x,y) = –sin(x 2 + y 2 ) (рис. 2.9).

При построении этого графика пределы изменения значений обоих аргументов лучше выбрать от –2 до +2.

Рис. 2.9. Пример построения графика функции z(x,y) = –sin(x 2 + y 2 )

Форматирование трехмерных графиков

Для форматирования графика необходимо дважды щелкнуть по области построения — появится окно форматирования с несколькими вкладками: Appearance, General, Axes, Lighting, Title, Backplanes, Special, Advanced, Quick Plot Data.

Назначение вкладки Quick Plot Data было рассмотрено выше.

Вкладка Appearance позволяет менять внешний вид графика. Поле Fill Options позволяет изменить параметры заливки, поле Line Option — параметры линий, Point Options — параметры точек.

Во вкладке General (общие) в группе View можно выбрать углы поворота изображенной поверхности вокруг всех трех осей; в группе Display as можно поменять тип графика.

Во вкладке Lighting (освещение) можно управлять освещением, установив флажок Enable Lighting (включить освещение) и переключатель On (включить). Одна из 6-ти возможных схем освещения выбирается в списке Lighting scheme (схема освещения).

6. Способы решения уравнений в MathCAD

В данном разделе мы узнаем, каким образом в системе MathCAD решаются простейшие уравнения вида F(x) = 0. Решить уравнение аналитически — значит найти все его корни, т.е. такие числа, при подстановке которых в исходное уравнение получим верное равенство. Решить уравнение графически — значит найти точки пересечения графика функции с осью ОХ.

6.1 Решение уравнений с помощью функции root(f(x),x)

Для решений уравнения с одним неизвестным вида F(x) = 0 существует специальная функция

root(f(x),x),

где f(x) — выражение, равное нулю;

х — аргумент.

Эта функция возвращает с заданной точностью значение переменной, при котором выражение f(x) равно 0.

!Внимание. Если правая часть уравнения 0, то необходимо привести его к нормальному виду (перенести все в левую часть).

Перед использованием функции root необходимо задать аргументу х начальное приближение. Если корней несколько, то для отыскания каждого корня необходимо задавать свое начальное приближение.

!Внимание. Перед решением желательно построить график функции, чтобы проверить, есть ли корни (пересекает ли график ось Ох), и если есть, то сколько. Начальное приближение можно выбрать по графику поближе к точке пересечения.

Пример. Решение уравнения с помощью функции root представлено на рисунке 3.1. Перед тем как приступить к решению в системе MathCAD, в уравнении все перенесем в левую часть. Уравнение примет вид: .

Рис. 3.1. Решение уравнения при помощи функции root

6.2 Решение уравнений с помощью функции Polyroots(v)

Для одновременного нахождения всех корней полинома используют функцию Polyroots(v), где v — вектор коэффициентов полинома, начиная со свободного члена. Нулевые коэффициенты опускать нельзя. В отличие от функции root функция Polyroots не требует начального приближения.

Пример. Решение уравнения с помощью функции polyroots представлено на рисунке 3.2.

Рис. 3.2. Решение уравнения с помощью функции polyroots

6.3 Решение уравнений с помощью функции Find(x)

Функция Find (Найти) работает в ключевой связке с ключевым словом Given (Дано). Конструкция Given Find использует расчетную методику, основанную на поиске корня вблизи точки начального приближения, заданной пользователем.

Если задано уравнение f(x) = 0, то его можно решить следующим образом с помощью блока Given Find:

– задать начальное приближение

– ввести служебное слово

– записать уравнение, используя знак жирное равно

– написать функцию find с неизвестной переменной в качестве параметра

В результате после знака равно выведется найденный корень.

Если существует несколько корней, то их можно найти, меняя начальное приближение х0 на близкое к искомому корню.

Пример. Решение уравнения с помощью функции find представлено на рисунке 3.3.

Рис. 3.3. Решение уравнения с помощью функции find

Иногда возникает необходимость отметить на графике какие-либо точки (например, точки пересечения функции с осью Ox). Для этого необходимо:

указать значение x данной точки (по оси Ох) и значение функции в этой точке (по оси Оy);

дважды щелкнуть по графику и в окне форматирования во вкладке Traces для соответствующей линии выбрать тип графика — points, толщину линии — 2 или 3.

Пример. На графике отмечена точка пересечения функции с осью Ох. Координата х этой точки была найдена в предыдущем примере: х = 2.742 (корень уравнения ) (рис. 3.4).

Рис. 3.4. График функции с отмеченной точкой пересечения

В окне форматирования графика во вкладке Traces для trace2 изменены: тип графика — points, толщина линии — 3, цвет — черный.

7. Решение систем уравнений

7.1 Решение систем линейных уравнений

Систему линейных уравнений можно решить матричным методом (или через обратную матрицу или используя функцию lsolve(A,B)) и с использованием двух функций Find и функции Minerr.

Матричный метод

Пример. Дана система уравнений:

Решение данной системы уравнений матричным методом представлено на рисунке 4.1.

Рис. 4.1. Решение системы линейных уравнений матричным методом

Использование функции lsolve(A,B)

Lsolve(A,B) — это встроенная функция, которая возвращает вектор Х для системы линейных уравнений при заданной матрице коэффициентов А и векторе свободных членов В.

Пример. Дана система уравнений:

Способ решения данной системы с использованием функции lsolve(A,B) приведен на рисунке 4.2.

Рис. 4.2. Решение системы линейных уравнений с использованием функции lsolve

Решение системы линейных уравнений с помощью функции Find

При данном методе уравнения вводятся без использования матриц, т.е. в «натуральном виде». Предварительно необходимо указать начальные приближения неизвестных переменных. Это могут быть любые числа, входящие в область определения. Часто за них принимают столбец свободных членов.

Для того чтобы решить систему линейных уравнений с помощью вычислительного блока Given Find, необходимо:

1) задать начальные приближения для всех переменных;

2) ввести служебное слово Given;

3) записать систему уравнений, используя знак жирное равно();

4) написать функцию Find, перечислив неизвестные переменные в качестве параметров функции.

В результате расчетов выведется вектор решения системы.

Пример. Дана система уравнений:

Решение данной системы с помощью вычислительного блока Given Find приведено на рисунке 4.3.

Рис. 4.3. Решение системы линейных уравнений с помощью функции Find

Приближенное решение системы линейных уравнений

Решение системы линейных уравнений с помощью функцию Minerr аналогично решению с помощью функции Find (используется тот же алгоритм), только функция Find дает точное решение, а Minerr — приближенное. Если в результате поиска не может быть получено дальнейшее уточнение текущего приближения к решению, Minerr возвращает это приближение. Функция Find в этом случае возвращает сообщение об ошибке.

Общие рекомендации по решению уравнений и систем уравнений

Ниже перечислены некоторые рекомендации, которые следует выполнять, если MathCAD не может самостоятельно найти решение.

Можно подобрать другое начальное приближение.

Можно увеличить или уменьшить точность расчетов. Для этого в меню выбрать Math Options (Математика – Опции), вкладка BuiltIn Variables (Встроенные переменные). В открывшейся вкладке необходимо уменьшить допустимую погрешность вычислений (Convergence Tolerance (TOL)). По умолчанию TOL = 0.001.

Внимание. При матричном методе решения необходимо переставить коэффициенты согласно возрастанию неизвестных х1,> >х2, х3, х4.

7.2 Решение систем нелинейных уравнений

Системы нелинейных уравнений в MathCAD решаются с помощью вычислительного блока Given Find.

Конструкция Given Find использует расчетную методику, основанную на поиске корня вблизи точки начального приближения, заданной пользователем.

Для решения системы уравнений с помощью блока Given Find необходимо:

задать начальные приближения для всех переменных;

ввести служебное слово Given;

записать систему уравнений, используя знак жирное равно();

написать функцию Find, перечислив неизвестные переменные в качестве параметров функции.

В результате расчетов выведется вектор решения системы.

Если система имеет несколько решений, алгоритм следует повторить с другими начальными приближениями.

Примечание. Если решается система из двух уравнений с двумя неизвестными, перед решением желательно построить графики функций, чтобы проверить, есть ли корни у системы (пересекаются ли графики заданных функций), и если есть, то сколько. Начальное приближение можно выбрать по графику поближе к точке пересечения.

Пример. Дана система уравнений

Перед решением системы построим графики функций: параболы (первое уравнение) и прямой (второе уравнение). Построение графика прямой и параболы в одной системе координат приведено на рисунке 4.5:

Рис. 4.5. Построение графика двух функций в одной системе координат

Прямая и парабола пересекаются в двух точках, значит, система имеет два решения. По графику выбираем начальные приближения неизвестных x и y для каждого решения. Нахождение корней системы уравнений представлено на рисунке 4.6.

Рис. 4.6. Нахождение корней системы нелинейных уравнений

Для того чтобы отметить на графике точки пересечения параболы и прямой, координаты точек, найденные при решении системы, введем по оси Ох (значения х) и по оси Оу (значения у) через запятую. В окне форматирования графика во вкладке Traces для trace3 и trace4 изменим: тип графика — points, толщина линии — 3, цвет — черный (рис. 4.7).

Рис. 4.7. Графики функций с отмеченными точками пересечения

8. Примеры использования основных возможностей MathCAD для решения некоторых математических задач

В данном разделе приведены примеры решения задач, для решения которых необходимо решить уравнение или систему уравнений.

8.1 Нахождение локальных экстремумов функций

Необходимое условие экстремума (максимума и/или минимума) непрерывной функции формулируется так: экстремумы могут иметь место только в тех точках, где производная или равна нулю, или не существует (в частности, обращается в бесконечность). Для нахождения экстремумов непрерывной функции сначала находят точки, удовлетворяющие необходимому условию, то есть находят все действительные корни уравнения .

Если построен график функции, то можно сразу увидеть — максимум или минимум достигается в данной точке х. Если графика нет, то каждый из найденных корней исследуют одним из способов.

1-й способ. Сравнение знаков производной. Определяют знак производной в окрестности точки (в точках, отстоящих от экстремума функции по разные стороны на небольших расстояниях). Если знак производной при этом меняется от «+» к «–», то в данной точке функция имеет максимум. Если знак меняется от «–» к «+» , то в данной точке функция имеет минимум. Если знак производной не меняется, то экстремумов не существует.

2-й способ. Вычисление второй производной. В этом случае вычисляется вторая производная в точке экстремума. Если она меньше нуля, то в данной точке функция имеет максимум, если она больше нуля, то минимум.

>Пример. >>Нахождение экстремумов (минимумов/максимумов) функции > >.>

>Сначала построим график функции (рис. 6.1).>

Рис. 6.1. Построение графика функции

Определим по графику начальные приближения значений х, соответствующих локальным экстремумам функции f(x). Найдем эти экстремумы, решив уравнение . Для решения используем блок Given – Find (рис. 6.2.).

Рис. 6.2. Нахождение локальных экстремумов

Определим вид экстремумов первым способом, исследуя изменение знака производной в окрестности найденных значений (рис. 6.3).

Рис. 6.3. Определение вида экстремума

Из таблицы значений производной и из графика видно, что знак производной в окрестности точки x1 меняется с плюса на минус, поэтому в этой точке функция достигает максимума. А в окрестности точки x2 знак производной поменялся с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция достигает минимума.

>Определим вид экстремумов >>вторым способом>>, вычисляя знак второй производной (рис. 6.4).>

Рис. 6.4. Определение вида экстремума с помощью второй производной

Видно, что в точке x1 вторая производная меньше нуля, значит, точка х1 соответствует максимуму функции. А в точке x2 вторая производная больше нуля, значит, точка х2 соответствует минимуму функции.

8.2 Определение площадей фигур, ограниченных непрерывными линиями

>Внимание.>> Чтобы избежать ошибок при вычислении площади, разность функций надо брать по модулю. Таким образом, площадь будет всегда положительной величиной.>

Пример. Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями и . Решение представлено на рисунке 6.6.

>Строим график функций.>

>Находим точки пересечения функций с помощью функции >>root>>. Начальные приближения определим по графику.>

>Найденные значения >>x>> подставляем в формулу > > как пределы интегрирования.>

8.3 Построение кривых по заданным точкам

Построение прямой, проходящей через две заданные точки

Для составления уравнения прямой, проходящей через две точки А(x0,y0) и B(x1,y1), предлагается следующий алгоритм:

Прямая задается уравнением y = ax + b,

где a и b — коэффициенты прямой, которые нам требуется найти.

Подставляем в это уравнение заданные координаты точек и получаем систему:

Данная система является линейной. В ней две неизвестные переменные: a и b. Систему можно решить матричным способом.

Пример. Построение прямой, проходящей через точки А(–2,–4) и В(5,7).

Подставим в уравнение прямой координаты данных точек и получим систему:

Решение этой системы в MathCAD представлено на рисунке 6.7.

Рис. 6.7.Решение системы

В результате решения системы получаем: а = 1.57, b = –0.857. Значит, уравнение прямой будет иметь вид: y = 1.57x – 0.857. Построим эту прямую (рис. 6.8).

Рис. 6.8. Построение прямой

Построение параболы, проходящей через три заданные точки

Для построения параболы, проходящей через три точки А(x0,y0), B(x1,y1) и C(x2,y2), алгоритм следующий:

Парабола задается уравнением

y = ax 2 + bх + с, где

а, b и с — коэффициенты параболы, которые нам требуется найти.

Подставляем в это уравнение заданные координаты точек и получаем систему:

Данная система является линейной. В ней три неизвестные переменные: a, b и с. Систему можно решить матричным способом.

Полученные коэффициенты подставляем в уравнение и строим параболу.

Пример. Построение параболы, проходящей через точки А(–1,–4), B(1,–2) и C(3,16).

Подставляем в уравнение параболы заданные координаты точек и получаем систему:

Решение этой системы уравнений в MathCAD представлено на рисунке 6.9.

Рис. 6.9. Решение системы уравнений

В результате получены коэффициенты: a = 2, b = 1, c = –5. Получаем уравнение параболы: 2x 2 +x –5 = y. Построим эту параболу (рис. 6.10).

Рис. 6.10. Построение параболы

Построение окружности, проходящей через три заданные точки

Для построения окружности, проходящей через три точки А(x1,y1), B(x2,y2) и C(x3,y3), можно воспользоваться следующим алгоритмом:

Окружность задается уравнением

где x0,y0 — координаты центра окружности;

R — радиус окружности.

Подставим в уравнение окружности заданные координаты точек и получим систему:

Данная система является нелинейной. В ней три неизвестные переменные: x0, y0 и R. Система решается с применением вычислительного блока Given Find.

>Пример>>. Построение окружности, проходящей через три точки А(–2,0), B(6,0) и C(2,4).>

>Подставим в уравнение окружности заданные координаты точек и получим систему:>

Решение системы в MathCAD представлено на рисунке 6.11.

Рис. 6.11. Решение системы

В результате решения системы получено: x0 = 2, y0 = 0, R = 4. Подставим полученные координаты центра окружности и радиус в уравнение окружности. Получим: . Выразим отсюда y и построим окружность (рис. 6.12).

Zoloto585CPA

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *