Какие виды графических зависимостей можно построить в mathcad

REDMOND

Построение эмпирических зависимостей в MathCAD

Эмпирические зависимости. В научных и инженерных исследованиях часто возникает задача математического описания некоторого исследуемого процесса или объекта. Для определенности предположим, что связь независимой переменной и зависимой переменной выражается в общем случае нелинейной функций . Функция является неизвестной, но значения переменных могут быть измерены и результаты таких измерений представлены таблицей , где , погрешности измерений, имеющие случайную природу.

Задача построений эмпирической зависимости состоит в нахождении функции S(x), как можно точнее аппроксимирующей неизвестную f(x).

Решение этой задачи включает два этапа.

Этап 1. Выбор класса функций, из которого выбирается S(x). Например, S(x) выбирается из класса линейных функций вида S(x)=а01х, где а0, а1 – параметры. Таким образом, на этом этапе эмпирическая зависимость выбирается с «точностью» до её параметров. Выбор класса функций осуществляется на основе анализа диаграммы рассеяния (в декартовой системе координат наносятся точки ) или на основе достоверной априорной информации. Например, из курса физики известно, что сопротивление металлического проводника линейно зависит от его температуры.

Этап 2.Вычисление неизвестных параметров функции S(x) с использованием таблицы измерений. Параметры вычисляются из условия минимума некоторого функционала F(a). Наиболее часто в качестве такого функционала используется функционал метода наименьших квадратов, имеющий вид:

где запись S(а, x) указывает на наличие у функции S(x) параметров j>, j=1, 2,…, M.

Функции MathCAD для построения эмпирических зависимостей. В пакет MathCAD включены функции для вычисления параметров различных функций S(x). Обращения к этим функциям приведены в табл. 1.1, где Х – вектор, составленный из значений <xi>, i=1, …, n, а Y – вектор, сформированный из значений

Функция Назначение функции
slope(x, y) Вычисляет параметр а1 линейной функции
intercept(x, y) Вычисляет параметр а0 линейной функции
regress(x,y,m) Вычисляет параметры полиномиальной функции для любого m (на практике ). Вычисленные параметры размещаются в результирующем векторе, начиная с четвертой проекции (см. пример 1.2)
line(x, y) Вычисляет параметры а0, а1 линейной зависимости
linfit (x, y,Ф) Вычисляет параметры линейной комбинации Базисные функции являются проекциями вектора-функции Ф(x), формируемого до обращения к функции linfit
genfit(x,y,ао,F) Вычисляет параметры нелинейной функции S(x). До обращения формируется F(x,a) – вектор-функция размерности (m+1), составленный из самой функции S(x) и частных производных ао – вектор размерности m, составленный из «стартовых» значений параметров (см. пример 1.3)

Замечание 1.1. Для вычисления значения эмпирической зависимости в точке с параметрами , найденными с помощью функции regress, используется функция interp(v, X, Y, x), где v – вектор, результат работы функции regress (см. пример1.2). Вычисление других эмпирических зависимостей осуществляется с использованием функций пользователя (см. примеры 1.1, 1.3).

Замечание 1.2.Разница между функциями linfit и genfit заключается в том, что параметры а1,…, аm функции linfit находятся из решения линейной системы уравнений, а в функции genfit из нелинейной системы, и поэтому задаётся точка старта (вектор ао) итерационной процедуры построения решения этой нелинейной системы.

Пример 1.1. Значения линейной зависимости измерялись в узлах с относительным уровнем шума . Построение линейной эмпирической зависимости показано на рис. 1.1. ¨

Рис. 1.1. Построение линейной эмпирической зависимости

Пример 1.2. По исходным данным, приведенным на рис. 1.2, построить полиномиальные эмпирические зависимости вида при m = 2 и m = 3. Построение этих эмпирических зависимостей показано в документе, приведенном на рис. 1.2. Видно, что при m = 3 эмпирическая зависимость в большей степени адекватна исходным экспериментальным данным, т.е. более близко подходит к измеренным значениям . ¨

Рис. 1.2. Построение полиномиальных зависимостей

Пример 1.3.По данным, приведенным на рис. 1.3 (векторы ), построить эмпирическую зависимость вида

Построение выполнено в документе MathCAD, показанном на рис. 1.3, с использованием функции genfit. Перед обращением к этой функции формируется вектор-функция , первая проек проекция которого содержит формулу эмпирической зависимости, а три других проекции частные производные от этой формулы по параметрам соответственно. Окружностями отмечены измеренные значения . ¨

Рис. 1.3. Построение нелинейной зависимости

Кроме функций вычислений параметров «универсальных» эмпирических зависимостей, приведенных в табл. 1.1, определены функции, вычисляющие параметры «специальных» эмпирических зависимостей. В табл. 1.2 приведено обращение к этим функциям.

Функция Назначение функции
expfit(X,Y,ao) Вычисляет параметры а1, а2, а3 экспоненциальной зависимости . Вектор ао (размерности 3) определяет точку старта, т.е. задает «начальное» значение для а1, а2, а3
lgsfit(X,Y,ao) Вычисляет параметры а1, а2, а3 зависимости . Вектор ао (размерности 3) определяет «стартовые» значения для а1, а2, а3
lnfit(X,Y) Вычисляет параметры а1, а2 зависимости
logfit(X,Y, ao) Вычисляет параметры а1, а2, а3 зависимости .Вектор ао (размерности 3) задаёт «стартовые» значения для а1, а2, а3
pwrfit(X,Y,ao) Вычисляет параметры степени зависимости . Вектор ао (размерности 3) задаёт «стартовые» значения для а1, а2, а3
sinfit(X,Y,ao) Вычисляет параметры синусоидальной зависимости . Вектор ао (размерности 3) задаёт «стартовые» значения для а1, а2, а3

Пример 1.4.По данным, приведенным на рис. 1.4, построить эмпирическую зависимость вида

Построение этой эмпирической зависимости показано в документе MathCAD, приведенном на рис. 1.4. ¨

Рис. 1.4. Построение экспоненциальной зависимости

Приведенные в табл. 1.1 и 1.2 функции осуществляют построение эмпирических зависимостей, которые можно назвать «глобальными», так как при вычислении их параметров используется вся таблица исходных данных. В ряде экспериментов возникает необходимость построить эмпирическую зависимость по некоторому небольшому набору исходных данных, которые находятся в окрестности точки х, для которой будет вычисляться значение эмпирической формулы. Такие эмпирические формулы можно назвать «локальными».

Для построения «локальных» эмпирических зависимостей в MathCAD включена функция loess(X,Y,d), приближающая исходные данные полиномом второй степени. Формальные параметры X, Y –этомассивы с исходными данными, а параметр определяет размер области приближаемых данных (рекомендуемое начальное значение 0.75 – 0.85). Чем больше величина d, тем больше сглаживание исходных данных. При больших значениях d работа функции loess(X,Y,d) становится аналогичной функции regress(X,Y,2). Резуль Результатом работы функции loess(X,Y,d) является вектор v, используемый функцией interp(v,X,Y,z), которая вычисляет значение построенной эмпирической формулы в точке z.

Пример 1.5.На рис. 1.5 приведен документ MathCAD, реализующий вычислительный эксперимент по построению локальной эмпирической формулы с помощью функции loess(X,Y,d) при и . Из графиков видно, что формула при достаточно хорошо приближает полином второго порядка. ¨

Графические возможности системы MathCad

А86 Графические возможности системы MathCAD. Методические указания /ГОУ ВПО РХТУ им. Д.И. Менделеева, Новомосковский институт (филиал); Новомосковск, 2009. – 64 с.

В методических указаниях представлено подробное описание графических возможностей мощного вычислительного пакета MathCAD, в том числе особенности построения и форматирования двух- и трехмерных графиков. Методические указания содержат большое количество примеров, иллюстрирующих различные способы оформления информации, представленной в графической форме.

Методические указания предназначены для студентов всех специальностей различных форм обучения, изучающих дисциплину «Информатика», а также может быть полезно и другим категориям пользователей, желающим расширить свои знания о возможностях вычислительной системы MathCAD.

Ил.87. Библиогр.: 4 назв. С.64.

© ГОУ ВПО «Российский химико-

им. Д.И.Менделеева Новомо-

сковский институт (филиал), 2009

Введение

Новое поколение интегрированных математических систем имеет стандартный набор средств обработки математической информации, позволяющих представить результаты расчетов как в числовой, так и в графической форме [1,2,3]. Учитывая роль визуальной информации при решении различного рода задач как прикладного, так и теоретического характера, в данном пособии MathCAD рассматривается с точки зрения наличия у него графических средств отображения информации [1,2].

MathCAD является одним из наиболее удобных пакетов для проведения инженерных вычислений средствами ПК. Он имеет естественный входной язык представления математических зависимостей и инструменты их набора в виде кнопок и библиотек. Графические объекты, построенные средствами MathCAD, легко экспортировать в другие документы Windows-приложений.

Цель данного пособия является подробное описание графических возможностей пакета MathCAD 2001. Он позволяет построить графические зависимости в виде двух- и трехкоординатных графиков. Независимо от типа графика алгоритм их построения сводится к выполнению следующих этапов: описание вида изображаемой функции; формирование векторов изменения аргументов; построение графических изображений; преобразование построенных изображений.

В данном пособии рассматриваются вопросы как построения, так и форматирования двухкоординатных и трехкоординатных графиков, представляющих интерес для решения разнообразных прикладных задач. Уделяется внимание особенностям построения, в том числе, таким разновидностям двухкоординатных графиков, как графики независимых и связанных функций, полярные графики, а также амплитудно-фазовая характеристика объекта регулирования, построенная в комплексной плоскости. Также рассмотрены особенности построения трехкоординатных графиков, в том числе и графиков параметрических поверхностей, возможности форматирования различных способов их представления, в частности, в виде поверхностных, диаграммных и контурных графиков, а также графиков точек данных.

Необходимые исследования зависимостей в MathCad

Для исследования зависимости диаметра балки от P3, необходимо, каждый раз в новом окне MathCad, равномерно изменять значения силы P3 и соответственно полученные значения диаметра балки d.

Аналогично находим зависимости максимального прогиба балки от L4, для этого изменяем значения длины L4 и полученные при этом значения максимального прогиба балки.

Строим график зависимости силы P3 от диаметра балки d, а также длины L4 от максимального прогиба балки.

REDMOND

— P3 – сила, действующая на балку;

— d – диаметр балки

— L4 – длины участка;

— &#8710;(xmax) –максимальный прогиб балки

Находим аппроксимирующую функцию для зависимости диаметра балки от P3. Для этого нам необходимо определить набор функций с помощью которых будем аппроксимировать. Воспользуемся встроенной функцией linfit для определения вектора коэффициентов аппроксимирующей функции. Построить график.

Аналогично для зависимости максимальный прогиб балки от L4

Определяем набор функций с помощью которых будем аппроксимировать

Определяем вектор коэффициентов аппроксимирующей функции

— P3 – сила, действующая на балку;

— d – диаметр балки

-(аа) –ранжированная переменная

Определяем набор функций с помощью которых будем аппроксимировать

Определяем вектор коэффициентов аппроксимирующей функции

м

— L4 – длины участка;

— &#8710;(xmax) –максимальный прогиб балки

-(bb) –ранжированная переменная

6. Вывод по проделанным исследованиям

В результате проделанных опытов в курсовой работе, была получена зависимость диаметра балки от силы P3, максимального прогиба балки от длины L4.

Построен график, где показано, что при увеличении силы P3 диаметр d балки уменьшается пропорционально.

На графике зависимости минимального прогиба балки &#8710;(xmax) от длинны L4 получили: на участке от 23 до 25 функция ведет себя логарифмически, на участке от 25 до 29 функция ведет себя линейно, в дальнейшем функция убывает линейно.

Найдены аппроксимирующие функции. Которые помогут нам найти аналитическую зависимость диаметра балки от P3 и максимального прогиба балки от L4.

При разработке данной курсовой работы нам необходимо было изучить: математическое моделирование, его свойства, основные понятия, классификация, алгоритмический анализ задачи и описание исследования задачи в MathCAD.

Я научился работать с пакетом MathCAD, её приложениями и компонентами. Система MathCAD является популярной программой, где можно строить графики, решать сложные дифференциальные, линейные и интегральные уравнения. Таким образом, работа в среде MathCAD даёт значительное повышение точности в расчётах, облегчает процесс программирования при вычислении функций и даёт возможность создания различных документов.

1)Макаров Инженерные расчеты в MathCAD(c.295)

2)Дарков А.В.,Шпиро Г.С. Сопротивление материалов Москва 1989г.

3)Винокуров Е.Ф.,Балыкин М.К., Голубев И.А Справочник по сопротивлению материалов –Мн.:Наука и техника,1988-464с.(с21-23).

4) Токочаков В. И. Практическое пособие по теме "Решение систем алгебраических и дифференциальных уравнений в среде Mathcad для студентов всех специальностей дневного и заочного отделений. — Гомель: ГГТУ, 2000.

REDMOND

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *