Как записать систему уравнений в mathcad prime

Foodband

Введение

При решении некоторых математических задач, при моделировании различных явлений, при автоматизации рабочего места пользователю приходится выбирать ту среду, которая бы позволяла реализовать с наибольшим комфортом многие варианты решений. До недавнего времени исследователю приходилось разрабатывать на основе алгоритма свои программные средства, пользуясь известными языками программирования. В настоящее время появилось много пакетов прикладных программ, в которых за счет встроенного процессора можно, легко освоив правила работы данной среды, проводить построение различных моделей, решать сложные математические задачи и находить значения выражений.

Система MathCad – пакет, предназначенный для проведения математических расчетов, который содержит текстовый редактор, вычислитель и графический процессор. Фирма MathSoft Inc (США) выпустила первую версию системы в 1986 г. Главная отличительная особенность системы MathCad заключается в её входном языке, который максимально приближён к естественному математическому языку, используемому как в трактатах по математике, так и вообще в научной литературе.

От других продуктов аналогичного назначения MathCad отличается ориентацией на создание высококачественных документов (докладов, отчетов, статей) в режиме WYSIWYG (What You See Is What You Get). Это означает, что, внося изменения, пользователь немедленно видит их результаты и в любой момент может распечатать документ во всем блеске. Преимущества MathCad состоит в том, что он не только позволяет провести необходимые расчеты, но и оформить свою работу с помощью графиков, рисунков, таблиц и математических формул. А эта часть работы является наиболее рутинной и мало творческой, к тому же она и время емкая и малоприятная.

1. Основные возможности математического пакета MathCad

1.1 Общая характеристика MathCad

Система MathCad содержит текстовый редактор, вычислитель и графический процессор.

Текстовый редактор служит для ввода и редактирования текстов. Текст может состоять из слов, математических выражений и формул, спецзнаков. Отличительная черта системы – это использование общепринятой в математике символики (деление, умножение, квадратный корень).

Вычислитель обеспечивает вычисление по сложным математическим формулам, имеет большой набор встроенных математических функций, позволяет вычислять ряды, суммы, произведения, определенный интеграл, производные, работать с комплексными числами, решать линейные и нелинейные уравнения, проводить минимизацию функции, выполнять векторные и матричные операции и т. д. Легко можно менять разрядность чисел и погрешность интеграционных методов.

Графический процессор служит для создания графиков. Он сочетает простоту общения с пользователем с большими возможностями графических средств. Графика ориентирована на решение типичных математических задач. Возможно быстрое изменение размеров графиков, наложение их на текстовые надписи и перемещение их в любое место документа.

Многие задачи, решаемые с помощью математических пакетов, сводятся к решению уравнений – алгебраических, степенных, тригонометрических, к поиску значений неизвестных, превращающих эти уравнения в тождества строго или приближенно. Успех в решении подобных задач зависит не только от мощности соответствующих инструментов, встроенных в MathCad , но и от знания пользователем их особенностей, нюансов, сильных и слабых сторон.

Задачи, решаемые в MathCad:

1) Подготовка научно-технической документации, содержащей текст и формулы в привычной для специалиста форме;

2) Вычисления результатов математических операций с константами, переменными и размерными физическими величинами;

3) Векторные и матричные операции;

4) Решение уравнений и систем уравнений;

5) Статистические расчеты и анализ данных;

6) Построение графиков;

7) Аналитические преобразования и аналитическое решение уравнений и систем;

8) Аналитическое и численное дифференцирование и интегрирование;

9) Решение дифференциальных уравнений.

1.2 Структура программы MathCad

Основное окно приложения имеет ту же структуру, что и большинство

приложений Windows. Сверху вниз располагаются заголовок окна, строка меню, панели инструментов (стандартная и форматирования) и рабочий лист,

или рабочая область, документа. Новый документ создается автоматически при запуске MathCad. Файлы документов в MathCad имеют расширение .mcd.

Большинство команд можно выполнить как с помощью меню (верхнего или контекстного), так и панелей инструментов или клавиатуры. Панель Math (Математика) предназначена для вызова на экран еще девяти панелей, с помощью которых происходит вставка математических операций в документы. Чтобы вызвать какую-либо из них, нужно нажать соответствующую кнопку на панели Математика.

В окне редактирования формируется документ MathCad. Новый документ получает имя Untitled (Без названия) и порядковый номер. Одновременно открыто может быть до восьми документов.

Документ состоит из трех видов областей: формульных, текстовых и графических. Расположение нетекстовых блоков в документе имеет принципиальное значение. Области просматриваются системой, интерпретируются и исполняются. Просмотр идет слева направо и сверху вниз.

Для ввода текстового комментария нужно выполнить команду Text Region (Текстовая область) из пункта меню Insert или нажать клавишу с двойной кавычкой (“), или нажать на кнопку текста на панели инструментов. Текстовая область служит для размещения текста между формулами и графиками. При этом в месте ввода появляется курсор в виде вертикального штриха, на место которого вводятся символы текста. Внутри текста курсор перемещается клавишами перемещения курсора. Переход на новую строку производится нажатием на клавишу Enter. Для окончания ввода нужно щелкнуть мышью вне текстовой области.

Для ввода формулы нужно установить указатель мыши в свободном месте окна редактирования и щелкнуть левой кнопкой мыши. Появится визир в виде красного крестика. Он указывает место, с которого начинается набор формулы.

Константами называются поименованные объекты, хранящие некоторые значения, которые не могут быть изменены.

В MathCad применяются десятичные, восьмеричные и шестнадцатеричные числовые константы. Десятичные константы могут быть целочисленными, вещественными, заданными с фиксированной точкой, и вещественными, заданными в виде мантиссы и порядка.

В MathCad содержится особый вид констант – размерные. Помимо своего числового значения они характеризуются еще и указанием на то, к какой физической величине они относятся. Для этого указания используется символ умножения. В системе MathCad заданы следующие основные типы физических величин: time (время), length (длина), mass (масса) и charge (заряд). При необходимости их можно изменить на другие.

Переменные являются поименованными объектами, которым присвоено некоторое значение, которое может изменяться по ходу выполнения программы. Тип переменной определяется ее значением; переменные могут быть числовыми, строковыми, символьными и т. д. Имена констант, переменных и иных объектов называют идентификаторами. Идентификаторы MathCad должны начинаться с буквы и могут содержать следующие символы:

1) латинские буквы любого регистра;

2) арабские цифры от 0 до 9;

3) символ подчеркивания (_), символ процент (%) и символ (.);

4) буквы греческого алфавита (набираются с использованием клавиши Ctrl или применяется палитра греческих букв).

Переменные должны быть предварительно определены пользователем, т. е. им необходимо хотя бы однажды присвоить значение. В качестве оператора присваивания используется знак :=, тогда как знак = отведен для вывода значения константы или переменной. Попытка использовать неопределенную переменную ведет к выводу сообщения об ошибке. MathCad читает рабочий документ слева направо и сверху вниз, поэтому определив переменную, ее можно использовать в вычислениях везде правее и ниже равенства, в котором она определена.

Переменные могут использоваться в математических выражениях, быть аргументами функций или операндом операторов.

Переменные могут быть и размерными, т. е. характеризоваться не только своим значением, но и указанием физической величины, значение которой они хранят. Проведение расчетов с размерными величинами и переменными особенно удобно при решении различных физических задач.

Предопределенные (системные) переменные – особые переменные, которым изначально системой присвоены начальные значения.

Рисунок 1 Предопределенные переменные

Операторы – элементы языка, с помощью которых можно создавать математические выражения. Операторы, обозначающие основные арифметические действия, вводятся с панели Calculator (Калькулятор, Арифметика). Вычислительные операторы вставляются в документы при помощи панели инструментов Calculus (Матанализ). При нажатии любой из кнопок в документе появляется символ соответствующего математического действия, снабженный несколькими местозаполнителями. Результатом действия логических, или булевых, операторов являются только числа 1 (если логическое выражение, записанное с их помощью, истинно) или 0 (если логическое выражение ложно).

2. Приближенные решения уравнений и их систем в MathCad

2.1 Особенности решения уравнений и их систем в MathCad

Алгоритм приближенного решения уравнения f(x)=0 состоит из двух этапов:

1. Нахождения промежутка, содержащего корень уравнения (или начальных приближений для корня);

2. Получения приближенного решения с заданной точностью с помощью функции root.

Нахождение корней полинома

Для нахождения корней выражения, имеющего вид v0+v1x+…+vn-1x n-1 + +vnx n , лучше использовать функцию polyroots, нежели root. В отличие от функции root, функция polyroots не требует начального приближения и возвращает сразу все корни, как вещественные, так и комплексные.

Функция Polyroots(v) – возвращает корни полинома степени n. Коэффициенты полинома находятся в векторе v длины n+1. Возвращает вектор длины n, состоящий из корней полинома.

Решение систем уравнений матричным методом

Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных х1, х2, …, хn:

Система линейных уравнений может быть записана в матричном виде: Ах = b, где:

Если det A ≠ 0 то система или эквивалентное ей матричное уравнение имеет единственное решение.

Системы линейных уравнений удобно решать с помощью функции lsolve. Функция lsolve(А, b) – возвращает вектор решения x такой, что Ах = b.

Решение системы уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса, его еще называют методом Гауссовых исключений, состоит в том, что систему уравнений приводят последовательным исключением неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей. В матричной записи это означает, что сначала (прямой ход метода Гаусса) элементарными операциями над строками приводят расширенную матрицу системы к ступенчатому виду, а затем (обратный ход метода Гаусса) эту ступенчатую матрицу преобразуют так, чтобы в первых n столбцах получилась единичная матрица. Последний, (n+1) столбец этой матрицы содержит решение системы.

В MathCad прямой и обратный ходы метода Гаусса выполняет функция rref(A).

Решение систем уравнений с помощью функций Find или Minner

Для решения системы уравнений с помощью функции Find необходимо выполнить следующее:

1. Задать начальное приближение для всех неизвестных, входящих в систему уравнений. MathCad решает систему с помощью итерационных методов;

2. Напечатать ключевое слово Given. Оно указывает MathCad, что далее следует система уравнений;

3. Введите уравнения и неравенства в любом порядке. Используйте [Ctrl]= для печати символа =. Между левыми и правыми частями неравенств может стоять любой из символов <, >, ≥ и ≤;

4. Введите любое выражение, которое включает функцию Find, например: х:= Find(х, у).

Ключевое слово Given, уравнения и неравенства, которые следуют за ним, и какое-либо выражение, содержащее функцию Find, называют блоком решения уравнений.

Функция Minner очень похожа на функцию Find (использует тот же алгоритм). Если в результате поиска не может быть получено дальнейшее уточнение текущего приближения к решению, Minner возвращает это приближение. Функция Find в этом случае возвращает сообщение об ошибке. Правила использования функции Minner такие же, как и функции Find. Функция Minerr(x1, x2, . . .) – возвращает приближенное решение системы уравнений. Число аргументов должно быть равно числу неизвестных.

Символьное решение уравнений

Имеются некоторые задачи, для которых возможности MathCad позволяют находить решения в символьном (аналитическом) виде. Решение уравнений в символьном виде позволяет найти точные или приближенные корни уравнения:

• если решаемое уравнение имеет параметр, то решение в символьном виде может выразить искомый корень непосредственно через параметр. Поэтому вместо того чтобы решать уравнение для каждого нового значения параметра, можно просто заменять его значение в найденном символьном решении;

• если нужно найти все комплексные корни полинома со степенью меньше или равной 4, символьное решение даст их точные значения в одном векторе или в аналитическом или цифровом виде.

Команда Символы → Переменные → Вычислить позволяет решить уравнение относительно некоторой переменной и выразить его корни через остальные параметры уравнения.

2.2 Решения уравнений и их систем в MathCad

Пример 1. Построить график функции f(x) и приблизительно определить один из корней уравнения. Решить уравнение f(x) = 0 с помощью встроенной функции MathCAD root.

Пример 2. Для полинома g(x) выполнить следующие действия:

1. С помощью команды Символы → Коэффициенты полинома создать

вектор V, содержащий коэффициенты полинома;

2. Решить уравнение g(x) = 0 с помощью функции polyroots;

3. Решить уравнение символьно, используя команду Символы →

Пример 3. Решить систему линейных уравнений:

1. Матричным способом и используя функцию lsolve;

2. Методом Гаусса;

3. Используя функцию Find.

Пример 4. Решить систему нелинейных уравнений с помощью функции Minerr .

Пример 5. Символьно решить системы уравнений.

Заключение

MathCad – это универсальная система, которая может использоваться в любой области науки и техники, везде, где применяются математические методы. Запись команд в системе MathCad на языке, очень близком к стандартному языку математических расчетов, упрощает постановку и решение задач.

И так, перечислим основные достоинства MathCad.

Во-первых, это универсальность пакета, который может быть использован для решения самых разнообразных инженерных, экономических, статистических и других научных задач.

Во-вторых, программирование на общепринятом математическом языке позволяет преодолеть языковой барьер между машиной и пользователем. Потенциальные пользователи пакета – от студентов до академиков.

И в-третьих, совместно применение текстового редактора, формульного транслятора и графического процессора позволяет пользователю в ходе вычислений получить готовый документ.

Но, к сожалению, популярный во всем мире пакет MathCad фирмы MathSoft, в России распространен еще слабо, как и все программные продукты подобно рода.

Список использованных источников

1. Белинская, С. И. Использование пакета Mathcad в информатике : учебное пособие / С. И. Белинская. – Иркутск : ИрГУПС, 2012. – 84 с.

2. Гурский, Д. А. Вычисления в MATCHCAD 12 / Д. А. Гурский,
Е. С. Турбина. – СПб.: Питер, 2006. – 544 с.

3. Дьяконов, В. Mathcad 2000. Учебный курс / В. Дьяконов. – СПб.: Питер, 2001. – 592 с.

4. Макаров, Е. Г. Инженерные расчёты в MATCHCAD 14 /
Е. Г Макаров. – СПб.: Питер, 2007. – 592 с.

5. Охорзин, В. А. Прикладная математика в системе Mathcad /
В. А. Охорзин. – Лань, 2009. – 352 с.

6. Очков, В. Mathcad 14 для студентов, инженеров и конструкторов / В. Очков. – BHV.: – Спб, 2007. – 368 с.

7. Поршнев, С. В. Численные методы на базе MATCHCAD /
С. В. Поршнев, И. В. Беленкова. – СПб.: БХВ-Питербург, 2005. – 464 с.

8. Шушкевич, Г. Компьютерные технологии в математике. Система Mathcad 14. Часть 1 / Г. Шушкевич, С. Шушкевич. – Издательство Гревцова. 2010. – 288 с.

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Как записать систему уравнений в mathcad prime

Библиографическая ссылка на статью:
Шевченко А.С. Использование Mathcad Prime при изучении раздела «Линейное программирование» // Современные научные исследования и инновации. 2016. № 4 [Электронный ресурс]. URL: https://web.snauka.ru/issues/2016/04/67335 (дата обращения: 23.11.2021).

Задачи линейного программирования можно решать многими способами: вручную, с помощью стандартных программных средств (табличный процессор MS Excel), либо с помощью специального программного обеспечения [1]. Однако изучение данного класса задач без использования современных программ требует довольно глубоких знаний в данной области и отнимает много времени. Таким образом, решать данные задачи «в ручном режиме» за строго определенный интервал времени могут лишь специалисты в области прикладной математики. Тем не менее, количество областей применения линейного программирования постоянно увеличивается. Методы математического программирования применяются как при изучении отдельных проблем математики, так и в прикладных областях: экономики, логистики, программировании. Существуют различные системы компьютерной алгебры (СКА) (MathCad, Matlab, Mathematica, Maple), имеющие в своем распоряжении необходимый инструментарий для построения математических моделей и решения задач линейного программирования. Владение хотя бы одной из СКА [2-6] позволяет будущему специалисту, не владеющему в полной мере техникой математических преобразований, самостоятельно выполнять громоздкие вычисления, решать сложные прикладные задачи.
В данной статье рассмотрим решение задач линейного программирования с использованием системы компьютерной алгебры Mathcad Prime [7-8] из класса систем автоматизированного проектирования.
PTC Mathcad Prime – это новое и единственное решение для ведения инженерных вычислений, которое одновременно позволяет вести сами вычисления и документировать их, существенно снижая риск появления дорогостоящих ошибок. PTC Mathcad Prime позволяет инженерам заниматься проектированием, выполнять вычисления и документировать работу в легко читаемом формате, удобном для совместного и повторного использования. Mathcad Prime отличается надежностью, простотой использования и обладает всеми функциональными возможностями, необходимыми для решения комплексных задач, требующих применения математического аппарата. Использование вычислений в Mathcad Prime в процессе инженерной деятельности упрощено благодаря «бесшовной» интеграции Mathcad Prime с всемирно известными инженерными и офисными приложениями. Все это облегчает совместную работу инженеров на всех этапах разработки, решение задач верификации, сертификации и публикации инженерных документов.
Mathcad Prime имеет простой интерфейс и хорошие возможности визуализации. Первое, что бросается в глаза при запуске Mathcad Prime – это новая система меню, основанная на так называемой «ленте» (ribbon). Интерфейс пользователя, основанный на технологии «ribbon» в настоящее время применяется во многих приложениях Windows, включая и MS Office (см. Рис.1).

Лента, как и в других современных приложениях, состоит из вкладок (интерфейсных групп), на которых сгруппированы соответствующие команды. На вкладках Ленты («Математика», «Ввод/вывод», «Функции», «Матрицы/таблицы», «Графики», «Форматирование формул», «Форматирование текста», «Расчет», «Документ», «Ресурсы») отображаются кнопки, предназначенные для выполнения тех или иных команд, причем многие из кнопок собраны в контекстно-зависимые меню.
Второе, что «бросается в глаза» при запуске Mathcad Prime – это линованное поле для ввода операторов. Так, решая задачу по математике, физике, химии и вузовским дисциплинам, мы берем линованный в клеточку лист бумаги и приступаем к работе.
Приятным сюрпризом для многих пользователей Mathcad Prime будет то, что система меню, все описания и все подсказки даются на русском языке. Кроме того, пользователи могут найти в Интернете видеоролики на русском языке с показом основных приемов работы с Mathcad Prime. Имеется также много анимационных уроков по работе с Mathcad Prime на английском и русском языках.
Отличительной чертой Mathcad от большинства других современных математических приложений является его построение по принципу WYSIWYG (&#8220;What You See Is What You Get&#8221; — &#8220;что вы видите, то и получите&#8221;) [8]. То есть математические выражения в среде MathCAD записываются в их общепринятой нотации: числитель находится сверху, а знаменатель внизу; интеграл или производная – это привычные математические знаки, а не специальным образом записанные символы, снижающие наглядность решения, в интеграле пределы интегрирования также расположены на привычных местах. Все это делает запись понятной для пользователя, читающего распечатку или глядящего на экран. Эту особенность ценят те, кому приходилось решать задачи при помощи языков программирования, где понять суть решения может лишь, владеющий подобными навыками, специалист.
В Mathcad Prime рабочие формулы можно размещать в пределах текста, что позволяет добиться идеальной читаемости и целостности документа и использовать один и тот же файл для проведения вычислений, хранения, распространения и подготовки отчетов.
При вводе и редактировании переменных и функций в среде Mathcad Prime есть возможность давать им (вручную или автоматически) обозначения: переменная, единица измерения, константа, функция и т.д.
В систему MathCAD интегрированы средства символьной математики, что не только улучшает визуальное восприятие преобразований на экране, но и позволяет решать задачи или их этапы как численно, так и аналитически. Решая поставленную задачу, пользователь может вводить числовые значения переменных и дополнять их размерностями. При этом можно выбирать и систему единиц (СИ, кг-м-мс г-см-с, британская), и конкретные размерности (мм, дюймы, футы и т.д.) – MathCAD имеет встроенную систему автоматического пересчета и контроля единиц измерений в процессе вычислений. Так, если мы определяем расстояние от одного объекта до другого как сумму отдельных расстояний с использованием различных единиц измерения (мили, футы, ярды, сантиметры), то система MathCAD автоматически произведет перерасчет всех расстояний и выдаст результат с заранее установленной единицей измерения.
В среде Mathcad, как известно, есть богатый инструментарий работы с массивами – векторами и матрицами, простыми и вложенными. В среде Mathcad Prime работа с этими инструментами стала еще более удобной: массив в расчете вводится протяжкой мышкой (как в MS Office), появились кнопки вставки и удаление строк и столбцов матриц, в созданный массив легко вставить другой массив, создав тем самым вложенный массив, и т.д.

Для ввода в расчет нескольких векторов одинаковой длины можно воспользоваться новым объектом Mathcad Prime – таблицей: набором связанных векторов одинаковой длины. Осталась, естественно, и возможность работы в среде Mathcad Prime с таблицей Excel. Данные можно импортировать из таблиц Excel, анализировать и экспортировать обратно в Excel.
В среде Mathcad Prime существенно обновился блок решения (Solve) уравнений и систем (алгебраических и дифференциальных) и проведения оптимизации: четко выделены зоны задания первого приближения, ограничений и собственно решения. Кроме того, переменные первого приближения стали локальными, что позволяет избегать ряда ошибок.
В среде Mathcad Prime существенные изменения коснулись и инструментов формирования численного ответа. В частности, комплексные числа стало возможным представлять в тригонометрической форме.
Инструменты программирования Mathcad Prime эволюционировали в сторону традиционных языков программирования. В частности, появились операторы else if и also if, что делает язык программирования Mathcad более похожим на языки С, Pascal, BASIC – на самые популярные языки программирования.
В новой версии Mathcad Prime 3.0 появилась долгожданная возможность внешнего программирования: теперь вы можете создать программу на C++ или Fortran-е за пределами Mathcad (например, в Microsoft Visual Studio). Внутри Mathcad эта программа будет работать, как пользовательская функция, причем передать в нее и из нее параметры можно в той же форме, что и для обычной встроенной функции Mathcad .
Пакеты расширений представляют собой набор дополнительных функций, встроенных автоматически в Mathcad Prime. Доступ к ним находятся в главном меню программы, в меню «Функции».
Пакет имеет удобную справочную систему с примерами решения задач, есть справочник по основным математическим и физико-химическим формулам и константам, которые можно автоматически переносить в документ. Подробная документация, возможность дополнения электронными учебниками по различным дисциплинам: обыкновенные дифференциальные уравнения, статистика, термодинамика, теория управления, сопротивление материалов и т. д. делают пакет привлекательным для использования в учебном процессе.
Рассмотрим конкретные примеры.
Пример 1 (Задача о диете). Пусть имеются 8 видов продуктов содержащих 9 питательных веществ и незаменимых компонент. В 100 граммах продукта содержится известное количество питательного вещества или незаменимого компонента. Кроме того, известны: – ежесуточная минимальная потребность организма в веществах , и – стоимость и энергетическая ценность (в килокалориях) 100 грамм продукта . Все указанные величины представлены в табл. 1.
Требуется рассчитать суточную диету так, чтобы обеспечить необходимое количество питательных веществ и незаменимых компонент при минимальных затратах на продукты. Найти калорийность K полученной оптимальной диеты.
Решение. Для решения сформулированной задачи составим ее математическую модель.
1. Введем обозначения: − неизвестное пока количество (грамм) продукта , входящего в диету.
2. Составим целевую функцию – стоимость диеты:

Робота в системі Mathcad

Mathcad — універсальна система, призначена для автоматизації математичних, інженерно-технічних і наукових розрахунків .

Mathcad дозволяє вирішувати такі завдання:

    введення на комп’ютері математичних виразів (для подальших розрахунків, для створення документів, презентацій, Web-сторінок, електронних і звичайних «паперових» книг);

отримання довідкової інформації.

підготовка Web-сторінок і публікація результатів в Інтернеті;

підготовка звітів роботи у вигляді друкованих документів;

введення початкових даних і виведення результатів у текстові файли або файли з базами даних в інших форматах;

підготовка графіків (двовимірних, тривимірних) з результатами розрахунків;

проведення математичних розрахунків (аналітичних та чисельних);

Mathcad 1.0—5.xx

Версії Mathcad з 1.0 по 4.хх працювали в операційній системі DOS, мали невеликий розмір виконуваних файлів (до 1 МБ) і незначні системні вимоги (оперативна пам’ять до 1 МБ, IBM-сумісний комп’ютер). Виконували операції як з елементарними математичними функціями, так і спеціальними (статистичними, булевими, комплексними тощо). Існувала можливість використання розмірностей у розрахунках і побудови 2D-графіки.

Можливості програмування обмежувались функціями if і until, що дозволяли реалізовувати лише дві основні алгоритмічні конструкції — вибір і повторення.

Версії з 5-ї і вище вже працювали на платформі Windows. Починаючи з п’ятої версії Mathcad користувачам була представлена можливість оголошення в середовищі Mathcad нових вбудованих функцій. Їх потрібно було написати на мові С, відкомпілювати 32-розрядним транслятором і прикріпити до Mathcad через механізм DLL.

В п’ятій версії також з’явились інструменти розв’язання звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР) і їх систем.

Mathcad 6

Версії Mathcad 6.0 і PLUS 6.0 були розраховані на роботу з ОС Windows 95 і були повноцінними 32-розрядними додатками. Інтерфейс системи було поліпшено, підвищена швидкість виконання операцій, введені численні нові графічні можливості, нові функції і нові можливості програмування.

Mathcad 7

У версії Mathcad 7.0 PRO були такі удосконалення й нововведення:

інтерфейс, перероблений і наближений до інтерфейсу текстового процесора Word 95/97;

виділення частин математичних виразів мишею;

швидка побудова графіків в декартових і полярних координатах з автоматичною установкою меж зміни незалежних змінних;

нова палітра символьної математики з розширеними операторами;

зручніший і наочніший синтаксис символьних операцій;

можливість обробки помилок в ході обчислень; нові інструкції on error, continue, return;

застосування в програмах операторів символьних операцій;

новий тип рядкових даних, констант і змінних;

вісім нових функцій для роботи з рядковими даними;

задання розмірних величин в системі СІ;

можливість підготовки складних документів різними користувачами, що працюють в різних місцях, за допомогою Collaboratory;

можливість обміну документами через Інтернет.

Mathcad 8

Версія Mathcad 8.0 PRO надала ще цілий ряд корисних можливостей:

близько 50 нових математичних функцій (елементарних, спеціальних статистичних та ін.);

нові функції оптимізації maximize і minimize ; розв’язання задач лінійного програмування;

нові функції контролю типу даних;

поліпшений блок розв’язання систем нелінійних рівнянь — знято обмеження на повне число рівнянь (раніше було не більше 50), тепер їх число досягло 200;

введення набору методів чисельного інтегрування з можливістю вибору конкретного методу через контекстне меню;

поліпшені засоби введення і форматування тексту;

команди редагування Find (знайти) і Replace (знайти і замінити);

нова можливість блокування і приховування областей;

поліпшене виведення таблиць;

можливість запису документів у форматі HTML;

можливість запису документів у форматі попередніх версій;

підтримка нової графіки Open GL і Active X;

застосування майстрів для створення складних тривимірних графіків; істотно поліпшені засоби форматування графіків

Mathcad 2000 (версія 9)

Версія Mathcad 2000 додала до існуючих можливостей ще ряд нових і істотних відмінностей:

поліпшений інтерфейс системи, зокрема інтеграція з Інтернетом перенесена в центр ресурсів;

введений ряд нових функцій для фінансово-економічних розрахунків, створення матриць тривимірних поверхонь, чисельного розв’язання диференціальних рівнянь у складі блоку Given , контролю типу розмірних змінних та ін.;

введений набір функцій для виконання регресії — експоненціальної, логарифмічної, синусоїдальної та ін.;

введений набір логічних операторів;

розширені можливості функції root — тепер вона може шукатикорінь не тільки по заданому наближенню (функція з двома параметрами), але й у заданому інтервалі (функція з чотирма параметрами);

введена прискорена і спрощена побудова тривимірних графіків

Mathcad 2001 (версія 10)

У версії Mathcad 2001 ще більше зросла продуктивність обчислень і розширені можливості. Впроваджено підтримку Windows 2000. Створено чотири модифікації з урахуванням специфіки використання.

істотно розширена сумісність з іншими популярними додатками;

обробка одиниць вимірювання в реальному часі; обмеження рекурсивного спуску в процесі обчислень (виграш в швидкості до 5-20 разів у порівнянні з попередніми версіями);

оптимізовані обчислення, особливо для ітерацій, підсумовування, інтегрування і диференціювання;

нові логічні алгоритми, засновані на залежностях від областей зміни змінних і велика узгодженість між аналітичними і чисельними розрахунками;

поліпшене управління пам’яттю і обробка об’єктів робочого документа, що видаляються

Mathcad 2001i («інтерактивний»)

Mathcad 2001i отримав повну підтримку Windows XP, розширені можливості збору даних від зовнішніх пристроїв, підвищену захищеність Mathcad-документів введенням сучасної криптографії, спрощену публікацію в Інтернет, розширене число алгоритмів розв’язання задач і набір опцій користувацьких налаштувань.

включення сучасних методів криптографії файлів для захисту змісту документів до того моменту, поки вони не надійдуть в руки адресатів;

при розповсюдженні документів додано можливість заблокувати всі області Mathcad з конструкціями і обчисленнями, тобто поширювати результати не відкриваючи суті ідей;

надав можливість користувачам задавати нові опції секретності для захисту від внесення до документів кодів, небезпечних для призначених для користувача комп’ютерних систем.

Mathcad 11—11.2a

При створенні Mathcad 11 основна увага була звернена на збільшення швидкості і потужності роботи системи. Мета полягала в тому, щоб поліпшити ядро Mathcad, розширити і поліпшити зручності роботи з Mathcad.

Розширені компоненти вводу-виводу для імпорту і експорту даних у вигляді рядків і стовпчиків, а також можливості читання-запису змішаних текстово-числових файлів;

забезпечена глибша інтеграція з Microsoft Excel;

використовуючи прості команди copy/paste, можна створювати і відображати змішані дані безпосередньо у формі матриць і таблиць;

забезпечена нова підтримка читання/запису для рівномірних, довільних і однорідних файлів двійкового формату (READBIN і WRITEBIN), що дає користувачам більшу гнучкість в операціях імпорту-експорту даних, ніж їх перетворення в ASCII-коди;

забезпечена нова підтримка для проходження рядкових даних через UserEFI-інтерфейс (функції, визначені користувачем; DLL).

забезпечена нова підтримка для комплексних аргументів функцій floor, ceil, round і trunc;

розширені можливості функції genfit, яка забезпечує апроксимацію кривих нелінійними функціями загального вигляду; введена нова sinc функція для обчислення точних значень sin(x)/x в границі при х, що прямує до 0;

поліпшений формат тексту RTF дозволяє вставляти фрагменти з документу Mathcad в такі прикладні додатки як Microsoft Word без додаткового переформатування;

поліпшена підтримка протоколу HTTP, яка дозволяє відкривати віддалені файли Mathcad, розміщені на Web-сервері, за допомогою команди File Open;

поліпшений HTML-подібний формат для вставки в Internet сторінок з колонтитулами, посиланнями і картинками;

забезпечена можливість зберігати документи як Інтернет-сторінки.

Нова версія пакету отримала досконаліше математичне ядро, а також додаткові опції, що дозволяють зберігати і публікувати документи Mathcad в різних форматах.

Можливість трасування обчислень: проміжні дані можуть бути виведені як для всього документа в цілому, так і для його окремих областей, що дозволяє ефективно контролювати виконання початкових кодів Mathcad.

Додаткові можливості публікації результатів обчислень завдяки новому формату даних XML: XSL-HTML-конвертер дозволяє генерувати веб-сторінки кращої якості;

опція XSL:FO дозволяє зберігати дані у форматі PDF.

Mathcad 13—13.1

Потужні засоби відладки програм, включаючи можливість вставки міток і покрокового виконання програмних циклів;

нова функція автозбереження дозволяє виключити можливість втрати виконаної інженерами роботи;

новий покажчик математичних помилок дозволяє усувати помилки, які без нього могли б бути пропущені;

підтримка нелінійних одиниць вимірювання, таких, як Фаренгейт, Цельсій і децибел; можливість створення власних одиниць вимірювання за допомогою простого меню;

підвищена продуктивність обчислень в порівнянні з попередніми версіями.

Базові величини, розраховані в системі Mathcad 14, можуть бути переведені в параметри і розміри CAD-моделі для управління геометричним об’єктом. Параметри з моделі Pro/ENGINEER також можна ввести в Mathcad для наступних інженерно-конструкторських розрахунків.

Суттєві зміни торкнулись також математичного ядра системи, яке тепер використовує символьну систему MuPAD. Це дозволило підвищити точність символьних обчислень та їх деталізацію, але є й негативні наслідки, пов’язані, з сумісністю символьних алгоритмів з попередніми версіями (обчислення, які працюють у попередніх версіях, можуть не виконуватись у новій і навпаки).

інтернаціоналізація: введено повну підтримку шрифтів Unicode та азіатських локалізацій операційних систем. Інтерфейс перекладено дев’ятьма мовами (англійська, французька, німецька, італійська, іспанська, японська, корейська, спрощена і традиційна китайська), підтримується перевірка орфографії 15-ма мовами.

2D-графіки: додано можливість вибору формату відображення чисел на шкалах координатних осей. При використанні полярної системи координат є можливість застосування негативних значень функції на радіусі.

В актуальній версії Mathcad — 15.0 — суттєвих змін немає. Традиційно Mathcad підтримує роботу САПР Pro/Engineer, а також Windchill ProductPoint.

Основні нові можливості:

додано 25 функцій для розрахунків з планування експериментів (design of experiments (DoE));

інтеграція з базою даних KnovelMath (інженерні і технічні стандарти);

інтеграція з програмним забезпеченням Kornucopia (дозволяє застосовувати шаблони процесів для оцінки даних натурних експериментів і результатів розрахунків);

інтеграція з базою даних Truenumbers (Truenumbers от True Engineering Technology), що надає доступ до різноманітних довідкових матеріалів і даних (результати з Mathcad просто передаються в різноманітні формати документів, що полегшує передачу даних у ланцюгу розробників);

підтримка операційної системи Microsoft Windows 7;

підтримка Microsoft Excel 2007.

Mathcad Prime 1.0-3.0

Mathcad Prime 3.0 є останнім релізом компанії PTC у програмному забезпеченні для інженерних розрахунків. Prime 3.0 увібрав все краще з свого попередника — Mathcad Prime 2.0, а також має багато нововведеннь та покращеннь. Основні нововведення Mathcad Prime:

математика в тексті — можливість введення формул безпосередньо в тексті документу.

форматування як формул, так і тексту.

покращений розрахунковий модуль, та символьні обчислення

розширені можливості роботи з 3-D графіками.

покращений інтерфейс користувача, виконаний у вигляді стрічок («Ribbon») останніх версій MS Office.

робочий документ представлено у вигляді аркушів, як у текстових редакторах.

повний пакет додаткових функцій чисельної математики (пакет для планування експериментів включно).

динамічна перевірка розмірних величин доступна у всіх розрахунках, створених у Mathcad Prime 1.0, серед іншого — у векторах і матрицях.

Mathcad Prime не сумісний із попередніми версіями. Для відкриття файлів, створених у попередніх версіях, передбачено автоматичний конвертер, який потребує встановлення одночасно з Mathcad Prime версії Mathcad 15, яка поставляється в комплекті. 100-відсоткова конвертація файлів не гарантується, оскільки Mathcad Prime поки що не відтворює повний функціонал Mathcad 15.

Комплектації

Версії Mathcad можуть відрізнятися комплектацією і ліцензією користувача. В різні часи поставлялись версії Mathcad Professional , Mathcad Premium , Mathcad Enterprise Edition (відрізняються комплектацією). Для академічних користувачів призначена версія Mathcad Academic Professor (має повну функціональність, але відрізняється ліцензією користувача і має в декілька разів нижчу вартість).

Для студентів і співробітників навчальних закладів пропонується «студентська» версія, із суттєвими знижками.

Т ехнологі я MAS

Подальший розвиток технологія Mathcad отримала при створенні Mathcad Application Server (MAS).

Суть технології MAS — в реалізації віддаленого доступу до програмного забезпечення Mathcad, або вже готових Mathcad-документів через веб-інтерфейс (технологія Web Calc).

Користувач MAS не має потреби купувати Mathcad, скачувати і запускати exe-файли (але це не виключається і визначається рівнем доступу).

ІНТЕРФЕЙС ПРОГРАМИ

Головне меню в математичному пакеті Mathcad складається з дев’яти пунктів, в кожному з яких об’єднані функціонально однорідні команди:

Файл (File). Пункти даного меню відображають загальні дії по роботі з документами, такі як створення, відкриття, збереження і друк документів з результатами розрахунків.

Правка (Edit). У даному меню в Mathcad зосереджені загальні команди по редагуванню документа або його фрагментів, такі як: вирізати; копіювати; вставити; перевірити орфографію; скасувати раніше виконану дію; знайти заданий фрагмент і, якщо необхідно, замінити його на інший.

Вид (View). Визначає вид інтерфейсу користувача, тобто перелік і порядок розташування різних елементів, що відображаються на екрані дисплея при роботі в Mathcad. Дане меню управляє масштабом, відображенням лінійок, рядком стану, набором активних панелей інструментів.

Вставка (Insert). Дозволяє ввести в документ різні елементи: матриці; графіки; функції; малюнки і компоненти інших програмних додатків, наприклад, Excel, MatLab.

Формат (Format). Задає формат стилю, шрифту тексту, абзацу. Дозволяє встановити вид формул і формат відображення результатів розрахунку. — Математика (Math). Містить команди, що забезпечують проведення розрахунків і задання опцій, що визначають їх точність.

Символіка (Symbolics). Включає команди виконання різних символьних розрахунків.

Вікно (Window). Команди даного меню активізують різні документи і визначають режими їх відображення на екрані дисплея.

Допомога (Help). Команди даного меню дозволяють отримати інструкції по роботі з математичної системою Mathcad, а також викликати " Центр ресурсів ", що містить численні приклади розв’язання задач.

Запуск Mathcad : ПускПрограмиMathSoft AppsMathCad Proffesional .

.

Палітра «Арифметика» для введення чисел і математичних операцій.

Палітра «Графіки» для побудови графіків і поверхонь.

Палітра «Матриці» для введення матриць і векторів і виконання дій над ними.

Палітра «Обчислення» для введення знаків рівності та спеціальних символів.

Палітра «Матаналіз» для обчислення сум і добутків рядів, диференціалів і інтегралів.

Палітра «Булево» для введення логічних операцій.

Палітра «Програмування» для запису програм.

Палітра «Грецький алфавіт» для введення символів грецького алфавіту.

Палітра «Символи» для введення спеціальних символів.

Введення математичних і текстових виразів

Введення виразу починається з позиції курсора і закінчується натисканням клавіші Enter або клацанням миші поза визначення.

Робоче поле документа Mathcad може складатися з двох видів областей:

  • математична область використовується для введення числових даних і виконання розрахунків, виділяється синім куточком — математичним курсором. За замовчуванням усе робоче поле є математичною областю;
  • текстова область використовується для введення текстових коментарів, виділяється червоним прямим курсором — текстовим курсором . "Вставка" ( Insert ) → "Текстова область" ( TextRegion ) .

Імена змінних чутливі до регістру.

Спочатку вводиться ім’я змінної, потім символ ":" (або знак =), потім число або вираз. Як роздільник цілої та дробової частини числа використовується точка .

:= Це оператор присвоюва ння ,

= Це команда "Обчислити" .

Правило видимості : значення змінної є правіше і нижче її визначення.

Обчисліть вираз .[TEX]\frac<1> <\sqrt<2>> =0.707[/TEX]

Для набору виразу послідовно введіть числа і оператори :[TEX]\frac<1> <\sqrt<2>> [/TEX]

Знак квадратного кореня можна знайти, розкривши арифметичну палітру .

В кінці виразу необхід но поставити знак дорівнювання " :" (або знак =), потім число або вираз

Математичні функції можна вводити, використовуючи арифметичну палітру або кно пку "Вставити функцію" .

ФОРМАТ → РЕЗУЛЬТАТ

Введення розмірностей

При роботі з розмірними величинами ми можемо вводити розмірності вручну після знака множення або ж вибрати зі списку по команді Insert \ Unit (Ctrl U) або кнопкою .

Базовими одиницями системи SI є: m — метр (1L), kg — кілограм (1M), s — секунда (1T), K — Кельвін (одиниця температури 1K), A — ампер (одиниця сили струму 1A), cd — Кандела ( одиниця сили світла 1C), і mole — моль (кількість речовини 1S).

Якщо клацнути мишкою по будь-якому виразу Mathcad, праворуч з’являється маркер для введення розмірності. Таким чином, можна вводити розмірності, або перетворювати значення з одних одиниць в інші, наприклад:

[TEX]l=1.609\times 10^<3>m [/TEX]

[TEX]l=5.28\times 10^<3>f [/TEX]

Foodband

Тут ми перетворили фути в метри, а милі в метри і фути.

Робота з матрицями.

Матричні операції

Використовуємо палітру векторів і матриць .

З матрицями можна виконувати усі припустимі операції : обчислити обернену матрицю, перемножити матриці, скласти і відняти. Можна також транспонувати матрицю , зробити вибірку елементів.

Можна вирішити систему рівнянь матричним способом :[TEX]X:=A^ <-1>\cdot B[/TEX]

Доступ до елементу матриці здыйснюэться за індексом, який починається від 0.

Індекси, вводяться за допомогою символу лівої квадратної дужки — [.

[TEX]X_ <0>=0.282 [/TEX] [TEX]X_<1>=0.359[/TEX] [TEX]X_<2>=0.513[/TEX]

Буде вводитись як: X[0= X[1= X[2=.

Буде вводитись як: A[0,0= A[0,2= A[2,2= A[2,0=. Індекси розділяються комами .

Можна вибрати один стовпець двовимірного масиву, :

Операція векторизації здійснює поелементні обчислення над матрицями (вводиться комбінацією клавіш Ctrl — або кнопкою палітри Vector and Matrix ). При її використанні операції здійснюються над кожним елементом вектора незалежно.

Коріння квадратного рівняння для трьох наборів вих ідних даних :

Табулювання функцій.

Побудувати таблицю значень функції можна двома способами.

Спосіб через інтервал.

1) Задати інтервал зміни аргументу в форматі:

x: = початкове значення [ , початкове значення + крок] .. кінцеве значення

В дужках вказаний необов’язковий параметр, якщо його немає, крок, за замовчуванням, дорівнює 1

2) Визначити функцію від цього аргументу, наприклад [TEX]f(x):=x\cdot sin(2\cdot x)^<2>[/TEX] .

Після імені функції обов’язково в дужках вводиться ім’я аргументу.

Спосіб через індекс.

1) Визначити зміну цілого індексу (номера аргументу в масиві даних)

, где

n – округлюється до меншого цілого значення.

2) Аргумент і функція задається у вигляді вектора-стовпця, наприклад :

x i: = початкове значення x + крок • і

.

Наприклад: Необхідно визначити функцію в інтервалі зміни аргументу з кроком 0,1.

Спосіб 1.

Задаємо аргумент в наступному вигляді:.

Двокрапка ".." вводиться символом крапка з комою ";" або кнопкою арифметичної палітри .

Визначаємо функцію [TEX]f(x):=x\cdot sin(2\cdot x)^<2>[/TEX]

Щоб вивести таблицю значень функції, введіть її ім’я f(x) та знак «=».

Увага! Щоб задати функцію до її імені додається аргумент в дужках.

Способ 2.

Задаємо зміну індексу (в Mathcad індекс масиву відраховується від 0). Початковий індекс визначається системною змінною ORIGIN=0.

Далі визначаємо аргумент через індекс : x[i , отримаємо: [TEX]x_ :=-0.1+0.1\cdot i[/TEX]

Визначаємо функцію [TEX]y_:=x_\cdot sin(2\cdot x_ )^ <2>[/TEX]

Щоб вивести таблицю значень функції, введіть її ім’я f(x) та знак «=».

Доступ до елементів масиву відбувається за індексом, наприклад :

[TEX]y_ <1>=3.947\times 10^ <-3>[/TEX][TEX]y_ <2>=0.03[/TEX]

Вибір способу побудови функції, не настільки важливий, однак при обчисленні значення функції як елементу масиву спрощується процедура звернення до його окремих значень.

Задання функції від двох агрумент способом через індекс

Задання функції [TEX]f(x,y):=x^2-y^2[/TEX] при з кроком 1. Тоді у Mathcad ця функція буде задаватися наступним чином:

[TEX]i:=0..10[/TEX] (1.1) [TEX]x_ :=-5+i[/TEX] (1.1) [TEX]j:=0..10[/TEX] (1.1) [TEX] y _:=-5+j [/TEX]

Задаємо функцію: [TEX]f(x,y):=x^2-y^2[/TEX]

Визначаємо двовимірну матрицю:[TEX]M_ :=f(x_, y_ )[/TEX], яка містить значення функції .

Задання кусково-неперервної функцїї

аргумент визначається так само,як за способом через інтервал;

для задання кусочної функції після знака присвоювання потрібно користуватися спеціальною функцією- if(cond,x,y) (команда Вставка – Функция, Категория Кусочно-непрерывные).

cond – умова, x – значення, коли умова виконується, y – значення, коли умова не виконується.

задаємо аргумент:

задаємо функцію: .

Построение графиков функций.

Для построения графиков використовується панель інструментів Математична

та графическая палитра :

Пиктограмма

Горячие клавиши

Название и назначение

Х-У график – построение графиков функций от одной переменной, заданных в декартовых координатах.

Полярные координаты – построение графиков функций от одной переменной, заданных в полярных координатах.

Поверхности – построение поверхности по функции от двух переменных, заданной в декартовых координатах.

3D Диаграммы – построение столбчатой диаграммы

3D Точечный – построение точечного графика функции от двух переменных, заданной в декартовых координатах.

Поле Векторов – построение поля векторов.

Контурный – построение линий равного уровня.

Трассировка – определение координат точки на графике.

Масштабирование – масштабирование графика.

Построение графика функции одной переменной в декартовых координатах

Используется Х-У график.

Ф ункция задана способом через интервал

Ф ункция задана способом через индекс

Одновременно можно построить до 16 кривых с общим аргументом, указывая функции через запятую. Можно и аргументы указывать через запятую.

Двойной щелчок мышкой по графику вызывает меню настройки, где можно изменить многие его характеристики.

На одном поле графика можно построить до 16 кривых.

Чтобы добавить на существующий график еще один график, нужно выделить математическим курсором имя уже построенной функции и нажать запятую. В результате появится еще один маркер ввода, в который записывается имя добавляемой функции. Если добавляемая функция зависит от аргумента, отличающегося от аргумента уже построенной функции, имя аргумента добавляемой функции нужно добавить в поле аргументов также через запятую .

Методы решения алгебраических уравнений и систем.

Система MathCad позволяет решать линейные, нелиненые уравнения и системы уравнений как аналитически, так и численно и графически.

В ходе занятия нам понадобятся следующие палитры: Арифметика, Матрицы, Булево, Вычисления и Символические операторы .

Решение уравнений с одним неизвестным в аналитической форме.

Существует два способа аналитического решения уравнений с одним неизвестным:

с помощью пункта главного меню Символы ;

с помощью команды solve палитры Символы .

В первом способе для аналитического решения уравнения необходимо выполнить следующие действия:

Записать уравнение в документе MathCad так, чтобы правая часть была равна нулю.

Выделить математическим курсором искомую переменную.

Выполнить команду Символы – Переменные – Вычислить ( Symbolics – Variable — Solve ) .

В результате производится поиск такого значения переменой, при котором исходное выражение становится равным нулю. На рис. 2 представлен пример решения квадратного уравнения.

Или если коэффициенты в уравнении известны, то результат будет числом.

Для того, чтобы решение было записано справа от выражения, необходимо установить флажок в меню Символы – Стиль решения — Горизонтально (Symbolics\Evaluation Style\Horizontally).

Второй способ решения уравнений можно осуществить, воспользовавшись панелью символьных вычислений , на которой необходимо выбрать кнопку .

После чего появится на экране сообщение .

Введите в помеченной позиции слева от ключевого слова solve выражение для правой части уравнения, а в позиции справа от solve – имя переменной, относительно которой нужно решить уравнение, и щелкните по свободному месту в рабочем документе. Результат (значение корня уравнения) будет отображен в рабочем документе справа от стрелки (рис. 4).

При использовании оператора solve, → переменные не должны быть определены заранее, так попытка раскрытия квадратного уравнения [TEX]a\cdot x^2+b\cdot x+c solve,x\rightarrow [/TEX] приведёт к ошибке однако, этот же квадратный трёхчлен с переменной z раскрывается вполне удовлетворительно:

Численное решение уравнений с одним неизвестным.

Многие нелинейные уравнения, например трансцендентные, и системы из них не имеют аналитических решений и решаются графическими или численными методами.

Функция root(выражение, имя переменной) ищет значение переменной, при которой выражение становится равным нулю. Поиск корня осуществляется итерационными методами, причем перед этим надо задать начальное значение х.

Например, необходимо найти корень трансцендентного уравнения[TEX]x=cosx[/TEX]

Зададим начальное значение [TEX]x:=1[/TEX], решение дается функцией [TEX]root(x-cos(x),x)=0.74[/TEX].

Количество значащих цифры после десятичной точки: меню Format \ Number в пункте Displayed Precision.

Или например, найдем сначала графическое решение уравнения, а затем воспользуемся функцией root.

Для задания начального значения, чтобы избежать тривиальных ошибок, можно построить график исследуемой функции. Задайте в рабочем документе функцию F(x) и постройте ее график в декартовых координатах. Чтобы найти графически корни уравнения – абсциссы точек пересечения графика функции с осью ординат, щелкните по полю графика правой кнопкой мыши. В появившемся контекстном меню выберите пункт Трассировка и установите (стрелками клавиатуры или мышью) маркер (перекрещивающиеся пунктирные линии) в точке пересечения графика функции с осью абсцисс. В окне диалога отображаются координаты маркера: значение координаты х при равенстве координаты y нулю или малой величине и есть искомое приближенное значение корня.

Решение нелинейных уравнений и их систем.

Если необходимо найти решения уравнения с несколькими переменными или системы уравнений, задается блок уравнений. Он имеет следующую структуру:

— Given – служебное слово, отмечающее начало блока;

— выражения с функциями F ind и Minerr ;

— проверка решения (если необходима).

В данном случае используются следующие функции:

а) Find12 ,…,х n ) – возвращает значение одной переменной или значения вектора переменных Х, отвечающее точному решению.

б) Minerr12 ,…,х n ) – возвращает значение одной переменной или значения вектора переменных Х, отвечающее приближенному решению с минимальной среднеквадратической погрешностью.

Ограничительные условия служат для ограничения области решения с помощью функции Find или минимизации среднеквадратической погрешности с помощью функции Minerr . Они задаются следующими конструкциями: > (больше), < (меньше), ≥ (больше или равно), ≤ (меньше или равно).

Внимание! В блоке решения системы уравний необходимо вводить знак равно с помощью комбинации Ctrl + = или с помощью кнопки = палитры Булево

Наиболее часто поиск корней систем нелинейных уравнений осуществляется при помощи блока Given . Find(. ).

Например, необходимо решить систему уравнений

Тогда в MathCad система решается следующим образом:

Здесь могут решаться уже системы уравнений с несколькими неизвестными, однако, как и в предыдущем случае, необходимо задание начальной точки, от которой будет происходить поиск решения. Решение ищется методом итераций и при наличии нескольких корней, очевидно, будет найдено лишь ближайшее решение, если оно существует.

Пример: Решение системы уравнений[TEX]\beginy = x^2\\y=8+3\cdot x\end [/TEX]

Блок первого решения

[TEX]x:=0[/TEX] [TEX]y:=0[/TEX] начальные значения

[TEX]X0^2=2.895[/TEX] Проверка решения

Блок второго решения

[TEX]x:=3[/TEX] [TEX]y:=0[/TEX] начальные значения

[TEX]XD^2=22.105[/TEX] Проверка решения

Таким же образом можно решать и системы линейных уравнений, однако приходится задавать начальную итерацию, потому системы линейных уравнений лучше решать матричным методом.

Аналогично решаются и более сложные уравнения или их системы.

Решение систем линейных уравнений.

1. Для решения систем линейных уравнений можно использовать и встроенную функцию lsolve(. ) .

Пусть задана система линейных уравнений:

[TEX]2\cdot x+3\cdot y=1[/TEX]

В MathCad сначала записывается матрица коэффициентов и вектор правых частей имеют вид:

Затем записывается функция:

[TEX]lsolve(A,B)=\left(\begin0.385\\ 0.077\end\right) [/TEX]

2. Матричный способ.

Система может быть представлена как A*X=B. Ищем ее решение матричным способом:

3. Решение систем линейных уравнений можно получать также при помощи блока Given . Find(. ).

[TEX]x:=0[/TEX]​ [TEX]y:=0[/TEX]

[TEX]Given[/TEX]

[TEX]2\cdot x+3\cdot y=1[/TEX]

Пример: решение системы линейных уравнений

[TEX]B:=\begin8 \\9\\20 \end [/TEX] задание матриц коеффициентов и свободных членов

[TEX]A^ <-1>:=\begin0.25 & -0.02 & 4.261\cdot 10^ <-3>\\-7.645\cdot 10^ <-3>& 0.334 & 0.012\\-2.657\cdot 10^<-3>& 6.885\cdot 10^<-3>&0.25 \end [/TEX] инвертирование матрицы А

[TEX]X:=A^ <-1>\cdot B[/TEX] решение системы линейных уравнений

Знаходження коренів многочлена

При нахождении корней полинома степени n используют функцию polyroots(v), где v – вектор длины n+1, содержащей коэффициенты полинома.

Функция polyroots(v) возвращает сразу все корни полинома как вещественные, так и комплексные. Предварительно коэффициенты полинома должны быть представлены в в виде вектора.

Решение уравнений в символьном виде.

Некоторые уравнения Mathcad может решить в символьном виде. Для этого существуют три возможности:

использование меню Символы ( Symbolics) ,

использование оператора solve , x→

использование блока Given . Find(. ) .

Пример, решить систему линейных уравнений.

[TEX]u+2\cdot \pi \cdot \nu =a[/TEX]

В данном случае, нам пришлось вводить неиспользованные до сих пор переменные u v, поскольку переменные x y уже определены. Обойти эти трудности можно довольно просто, если решить уравнение на новом рабочем листе.

Пример, решение полинома третьего порядка.

[TEX]a\cdot z^3+b\cdot z^2+c\cdot z+dsolve,z\rightarrow \left(\begin-1\\ i\\-i\end\right) [/TEX]

.

Методы решения дифференциальных уравнений и систем.

Обыкновенным дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение , которое связывает независимую переменную x, искомую функцию y=y(x) и ее производные.

Системой обыкновенных дифференциальных уравнений называется система уравнений которая связывает независимую переменную x, искомые функции и их производные.

Все функции MathCad предназначены для численного решения задачи Коши нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши для уравнений сводится к решению задачи для системы.

Численное решение этой задачи состоит в построении таблицы приближенных значений yi,1, yi,2,…, yi,n, i=1,2,…,N, решения y1(x), y2(x),…, yn(x) на отрезке [x0, xN] в точках x0,x1,…,xN, которые называются узлами сетки.

где Y — искомое решение; Y 0 – вектор начальных условий; F(x, Y ) – вектор правых частей, запишем систему дифференциальных уравнений в векторной форме:

Численное решение дифференциальных уравнений.

Рассмотрим дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Пусть задано дифференциальное уравнение

при начальном условии .[TEX]y(1)=C[/TEX]

Численное решение осуществляется при помощи встроенной функции

rkfixed(y,x1,x2,n,D), которая использует метод Рунге-Кутта 4-го порядка. Здесь:

y — вектор начальных условий, в данном случае вектор из одного элемента.

x1,x2 — границы интервала для поиска решения.

n — количество точек на интервале.

D(x,y) — вектор-функция первых производных, в данном случае вектор из одного элемента.

Решение уравнения в MathCad на интервале (1,5):

Задается начальное условие Записывается правая часть уравнения как функция от х и начального условия y0:

Находится численное решение c помощью функции rkfixed. В данном примере ищем решение в интервале от 1 до 5 в 40 точках внутри интервала.

В итоге полная запись решения выше приведенного уравнения имеет вид матрицы:

Матрица z имеет 2 столбца и 40 строк – первый столбец содержит переменную х , второй – искомую функцию y .

Построим график численного решения.

Численное решение систем дифференциальных уравнений.

Системы дифференцыальных уравнений первого порядка решаются также с помощью функции rkfixed.

Решим для примера систему 2-х дифференциальных уравнений 1-го порядка:

Тогда в MathCad решение выполняется следующим образом.

Начальные условия, теперь уже в виде вектора.

Решение задачи Коши для дифференциальных уравнений высших порядков.

Найдем на отрезке [0,3] приближенное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , и построим график найденного решения.

Сведем решение задачи для уравнения второго порядка к задаче для эквивалентной нормальной системы первого порядка.

Обозначим и . Поскольку , то получим

Решим задачу численно, используя алгоритм Рунге-Кутты с фиксированным шагом на сетке из 20 равноотстоящих узлов.

Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий вычисления и график, приведен на рисунке 2.

Приклад. Найдем на отрезке [0,3] приближенное решение задачи Коши

и построим графики для найденного решения. Решим задачу численно, используя алгоритм Рунге-Кутты с фиксированным шагом на сетке из 30 равноотстоящих узлов.

Сумма и произведения ряда.

Для вычисления суммы рядов воспользуемся значком суммы с указанием границ суммирования.

Из примеров видно, что система обрабатывает ситуации .

Значок суммирования только с указанием индекса используется для работы с матрицами и функциями, зависящими от индекса, т.е. в тех случаях, когда пределы изменения индекса указываются в виде переменной интервального типа.

Аналогично вычисляются произведения.

Вычисление интегралов.

Определённый интеграл — есть площадь криволинейной трапеции. Интеграл достаточно хорошо вычисляется, если подынтегральная функция не имеет особенностей.

Точность вычислений задаётся системной переменной TOL , которая может быть переопределена в меню Математика\Параметры ( Math \ Options ) . Установим, например точность вычислений ().

Здесь мы вывели результат с 6 значащими цифрами.

Символьные вычисления суммы и произведения .

Если результат нужно получить не в виде числа, а в виде набора математических символов (т.е. необходимо вычислить неопределенный интеграл, продифференцировать функцию), то такие вычисления в MathCad называются символьными.

При символьных вычислениях не нужно задавать изменение аргумента, так как мы стремимся получить результат не в числовом виде, а в символьном.

Внимание! В символьных вычислениях в качастве знака «равно» используется знак символьного равенства →, расположенный на палитре Вычислений.

Суммы и произведения можно вычислять в символьном виде, например:

или по конечному пределу:

Получаем ряд из 8 слагаемых, это значит, что система не смогла упростить выражение.

Вычисление пределов.

Для вычислений пределов также используется знак символьного равенства →.

Можно вычислить также пределы слева и справа.

Дифференцирование и вычисление интегралов.

Для вычисления производной достаточно поставить функцию под знак

Если перед этим определить значение переменной, то получим численное значение.

Mathcad не выводит константу интегрирования.

Вычислим теперь интеграл от более сложной функции:

Как видно, такой интеграл Mathcad не мог вычислить в аналитическом виде, поэтому вернул исходное выражение.

Чтобы обеспечить вывод значений в той же строке: меню Символы\Стиль вычислений ( Symbolics \ Evaluation Style ) → опция Горизонтально (Horizontally) .

Комплексные числа.

Комплексные числа вводятся в обычной алгебраической записи, в качестве мнимой единицы используется символ i или j.

Примечание: нельзя просто ввести i, нужно написать 1i.

Комплексное сопряжение (знак — ), выводится символом двойной кавычки после набора имени переменной ".

или так:

В случае многозначности корней система вернёт корень с наименьшей мнимой частью.

Функции для работы с комплексными числами:

действительная часть числа,

— мнимая часть числа.

— аргумент (угол в комплексной плоскости между вещественной осью и z)

— модуль.

Foodband

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *