Как записать производную в mathcad

REDMOND

MathCAD — это просто! Часть 13. Продолжаем бороться с дифференциальным исчислением

В прошлый раз мы с вами научились использовать возможности мощнейшей математической среды MathCAD для вычисления различных вещей, относящихся к дифференциальному исчислению: пределов, производных, сумм сходящихся числовых и функциональных рядов. Сегодня мы с вами продолжим знакомство с тем, как в MathCAD вычислять многие важные вещи из ВУЗовского курса математического анализа. Надеюсь, что это будет для вас достаточно интересно.

Вычисление частных производных

Напомню на всякий случай, что частными называются производные от функций нескольких переменных, берущиеся по одной или нескольким переменным. Для вычисления частных производных в MathCAD’е используются те же самые операторы, которые мы с вами уже весьма успешно применяли для вычисления полных производных. Единственное отличие — это, конечно же, оформление оператора взятия производной. В математическом анализе для отличия частных производных от полных используется специальная запись, в которой буква d, обозначающая производную, и сверху, и снизу пишется наклонной. MathCAD, как и во всех остальных случаях, позволяет пользователю применять привычную запись. Для того, чтобы изменить внешний вид оператора производной, выделите выражение и кликните по нему правой кнопкой мыши. В появившемся контекстном меню нужно выбрать пункт View Derivative As (Показывать производную как…), а в нем — Partial Derivative (Частная производная). Вы всегда можете вернуться к обычному отображению оператора производной, выбрав в том же самом меню пункт Derivative (Производная), который устанавливает для оператора производной вид оператора полной производной. Обратите внимание на то, что установка вида одного оператора взятия производной никак не влияет на все остальные операторы, как уже имеющиеся в вашей рабочей области, так и на те, которые будут добавлены в нее позднее.

Что касается такой весьма и весьма немаловажной вещи, как взятие смешанных производных, то она реализуется с помощью последовательного взятия частных производных по разным переменным. Хотя, конечно, в результате могут получаться и довольно громоздкие выражения, как, например, на иллюстрации, демонстрирующей применение нескольких операторов взятия производной для вычисления смешанных производных.

Неопределенные интегралы

Дифференцирование в математическом анализе неразрывно связано с интегрированием. Эти обратные друг другу действия — две стороны одной медали, а потому и мы с вами, поговорив об одном из них, перейдем к разговору о втором. У математиков есть шутка, что дифференцирование — это ремесло, а интегрирование — это искусство. MathCAD позволяет и интегрирование свести к уровню ремесла — если, конечно же, представлять себе, что в принципе может быть решаемо с помощью этой программы, а что нужно довести до того вида, в котором задачу уже можно "скармливать" MathCAD’у. Задача вычисления неопределенного интеграла обратна задаче нахождения производной функции. Неопределенный интеграл имеет также название первообразной, которое по ряду причин используется реже. Для вычисления неопределенных интегралов в среде MathCAD используется оператор, который можно легко найти на панели Calculus. Под знаком интеграла пользователь должен ввести функцию, для которой он хочет найти первообразную, а после знака дифференциала — переменную, по которой будет производиться интегрирование. Как видите, и здесь MathCAD верен себе, то есть дает пользователю возможность использовать, опять-таки, знакомые по математическому анализу обозначения неопределенных интегралов. Нужно отметить также, что для неопределенных интегралов необходимо применять символьное вычисление выражений, то есть знак "стрелочки", а не знак равенства.

Следует, впрочем, помнить, что многие интегралы просто принципиально не выражаются в элементарных функциях. В том случае, если вы подсунули MathCAD’у один из таких весьма распространенных интегралов, ситуация может иметь два различных финала: либо MathCAD успешно проинтегрирует выражение и выдаст результат с использованием каких-либо специальных функций, либо же честно признается, что его такое интегрировать не учили. Во втором случае вы увидите после "стрелочки", стоящей за интегралом, запись вида indef_int(f(x), x). Естественно, вместо f(x) и x будут соответственно стоять подынтегральная функция и та переменная, по которой вы хотели провести интегрирование. Оба возможных варианта продемонстрированы на иллюстрации ниже.

Со специальными функциями тоже все не так просто. Синтаксис, используемый для их записи в MathCAD’е, все же несколько отличается от принятого в математике, а потому, вполне вероятно, для того, чтобы разобраться в том, что за специальные функции скрываются за той или иной записью, придется воспользоваться справочной системой среды MathCAD. Для этого нажмите F1, в появившемся окне выберите вкладку Search, в поле рядом с кнопкой Go введите имя функции, информацию по которой вам нужно найти, а затем нажмите эту самую кнопку. Среди результатов поиска может оказаться и несколько разделов, и имеет смысл просмотреть их все.

В общем-то, даже в том случае, если MathCAD поднимает белый флаг при виде неопределенного интеграла, это не значит, что его вовсе невозможно вычислить в элементарных или специальных функциях. Вполне возможно, что с помощью каких-либо преобразований вам удастся привести его к виду, пригодному для решения в MathCAD. Также имеет смысл поискать решение в старых печатных справочниках или "погуглить" в интернете. Вполне возможно, что у MathCAD’а просто не хватило творческого воображения на то, чтобы до конца "раскрутить" ваш сложный интеграл.

Определенные интегралы

Неопределенные интегралы — это, конечно же, хорошо, но все же на практике куда как чаще используются интегралы определенные. И, думаю, для вас не окажется неожиданностью тот факт, что MathCAD прекрасно умеет справляться и с этим видом интегралов. Определенный интеграл, как вы понимаете, отличается от неопределенного наличием пределов интегрирования. Фактически неопределенный интеграл — это функция (первообразная подынтегральной функции), в то время как определенный интеграл — это просто какое-то число. То есть его мы можем вычислить не только аналитически, но и численно, что позволяет нам рассчитывать значения определенных интегралов даже тогда, когда первообразная рассчитана быть не может. Оператор для расчета определенных интегралов в MathCAD’е находится на панели Calculus недалеко от оператора расчета неопределенных интегралов и отличается от него, как я уже совсем недавно говорил, наличием пределов сверху и снизу от символа интеграла. После того, как вы запишете подынтегральное выражение, переменную интегрирования и собственно пределы, можно ставить знак равенства или стрелочку для вычисления определенного интеграла. В первом случае интеграл будет вычислен численно, во втором — аналитически.

Вопрос о том, какой способ вычисления интегралов использовать: численный или аналитический, — не такой надуманный и праздный, как может сначала показаться. Дело в том, что аналитически определенные интегралы вычисляются, во-первых, точнее, а во-вторых, быстрее, нежели численно. Правда, может возникнуть ситуация, аналогичная той, которую вы можете увидеть на иллюстрации выше — то есть символьный процессор не доведет процесс вычислений до конца, а оставит интеграл в виде смеси численных значений и функций. Впрочем, с этим всегда довольно просто справиться, как видите. Для вычисления кратных интегралов используется тот же прием, что и для вычисления смешанных частных производных для функций многих переменных. То есть мы последовательно интегрируем несколько раз функцию с заданными пределами, и в результате получаем именно то, что, в общем- то, и рассчитывали получить. Стоит отметить, что, поскольку при интегрировании кратных интегралов мы теряем при численном интегрировании особенно много времени, то здесь особенно желательно использовать именно аналитический способ вычисления интегралов.

В применении системы MathCAD для расчета определенных интегралов есть немало тонких моментов, которые не возникали при расчете интегралов неопределенных. Особенно это касается численных методов расчета интегралов. Как я уже говорил, эти методы позволяют рассчитать даже такие интегралы, которые не поддаются аналитическому вычислению. Однако за все надо платить, а потому использование численных методов интегрирования способно приводить к значительным погрешностям в результате, что, сами понимаете, при решении весьма значительного по своей распространенности класса задач не просто нежелательно, а часто даже совершенно недопустимо. О погрешностях при численном интегрировании в MathCAD’е и о том, как избежать того, чтобы они стали совсем уж гигантскими, мы с вами поговорим в следующий раз. А пока что давайте подведем итоги тому, о чем мы говорили сегодня.

Как видите, MathCAD с легкостью справляется с интегралами — пусть не со всеми, но с их значительной частью. Тех возможностей этой великолепной среды, о которых мы с вами уже успели поговорить в цикле статей "MathCAD — это просто!", на мой взгляд, как раз достаточно для того, чтобы прибавить вам энтузиазма в дальнейшем изучении этой программы.

SF, spaceflyer@tut.by

Компьютерная газета. Статья была опубликована в номере 26 за 2008 год в рубрике soft

Совет 1: Как обнаружить производную в маткаде

MathCAD имеет встроенный инструментарий для вычисления производных всякий трудности. На панели Calculus расположена кнопка стремительного вызова этого инструмента. Программа выдает итог позже вызова оператора аналитического вычисления.

Как обнаружить производную в маткаде

Инструкция

1. Для аналитического вычисления производной выберите кнопку d/dx на панели Calсulus. На рабочем листе в черное окошко позже оператора производной впишите вычисляемое выражение. Сейчас введите знак стрелки с панели, либо наберите на клавиатуре сочетание Ctrl+”.” (русская буква «ю»). Нажмите F9. Значение производной функции будет выдано в виде математического выражения.

аналитическое вычисление производной

2. Решение задачи нахождения производной в определенной точке осуществляйте по дальнейшей схеме. Вначале некоторой новой функции присвойте значение производной от заданной функции. После этого подставьте значение знаменитой точки в эту функцию. Положительным будет и иной вариант. Задайте вестимое значение точки, а после этого вычислите производную от надобной функции. Итог получайте с поддержкой знака равенства.

вычисление точного значения производной

3. Вычисление производных высших порядков исполняйте с поддержкой кнопки dn/dxn, расположенной также в панели Calculus. Значимо помнить, что показатель порядка n должен быть неукоснительно естественным числом. Когда образец вычисления производной появится на рабочем поле, введите в соответствующие черные прямоугольники значение порядка, переменную, по которой будет произведено дифференцирование, и исследуемую функцию. Для приобретения итога используйте стрелку, а не знак равенства.

производные высших порядков

4. При вычислении помните, что погрешность при просчете всего дальнейшего порядка накапливается, скажем, итог для производной пятого порядка имеет точность до пятого знака позже запятой. По этой причине не неизменно имеет толк применять численные способы дифференцирования. Неизменно проверяйте вероятность приобретения аналитического итога.

Совет 2: Как взять производную

Знание брать производную требуется от учеников средней школы, начиная с 9 класса. Много заданий на производные встречается в ЕГЭ по математике. От студентов высших учебных заведений тем больше требуют брать всякую производную . Это нетрудно, к тому же существует легкой алгорифм взятия производных.

Определение производной - тангенс угла наклона касательной

Вам понадобится

  • Таблица основных производных

Инструкция

1. Сперва нужно определить, к какому виду относится функция, производную которой ищем. Если это простая функция от одной переменной, тогда вычисляем ее по таблице производных, представленной на рисунке.

Таблица производных основных функций

2. Производная суммы некоторых функций f(x) и g(x) равна сумме производных этих функций.

3. Производная произведения функций f(x) и g(x) вычисляется как сумма произведений: производной первой функции на вторую функцию и производной 2-й функции на первую функцию, то есть: f(x)’*g(x)+g(x)’*f(x), где штрихом показана операция взятия производной.

4. Производную частного дозволено вычислить по формуле (f(x)’*g(x)-g(x)’*f(x))/(g(x)^2). Эту формулу легко запомнить – числитель примерно одинаков производной от произведения (только взамен суммы разность), а в знаменателе – квадрат знаменателя начальной функции.

5. Самое трудное в операции дифференцирования – это взять производную трудной функции, то есть f(g(x)). В данном случае мы обязаны будем сперва брать производную от внешней функции, не обращая внимания на вложенную. То есть, считаем g(x) доводом. После этого вычислим производную вложенной функции и домножим ее на предшествующую вычисленную производную по трудному доводу.

Видео по теме

Полезный совет
При взятии производной трудной функции значимо уметь отличать внешнюю функцию от внутренней. Вы можете слегка обвести внутреннюю функцию и считать ее временно за примитивную переменную x, дабы не запутаться.

Совет 3: Как обнаружить производную в точке

В физическом смысле производная – это скорость метаморфозы функции. Производная функции метаморфозы координаты – это скорость движения, производная функции скорости является убыстрением. Таким образом, зная формулу метаморфозы координат тела в пространстве, дозволено обнаружить его скорость и убыстрение в всякой координате пространства.

Как обнаружить производную в точке

Инструкция

1. Обнаружьте приращение функции: Δf = f(x0+Δx) – f(x0). Обнаружьте отношение приращения функции к приращению довода: Δf/Δx = (f(x0+Δx) – f(x0))/Δx. При этом считайте, что Δx тяготится к нулю. Это и будет производная функции в точке х0. На практике вначале находят всеобщую формулу производной функции, а после этого подставляют определенное значение довода.

2. Для примера f(x) = x^3 – 2x^2 + x + 1, нужно обнаружить производную в точке x = 4.Обнаружьте производную f(x) = 3x^2 – 2*2x + 1. Обнаружьте производную f'(4) = 3*4^2 – 4*4 + 1 = 48 – 16 + 1 = 33.

Обратите внимание!
Производная непрерывной равна нулю. Для основных функций существуют формулы вычисления производной.

Совет 4: Как обнаружить производную

Нахождение производной (дифференцирование) – одна из основных задач математического обзора. Нахождение производной функции имеет уйма использований в физике и математике. Разгляди алгорифм.

Как обнаружить производную

Инструкция

1. Упростите функцию. Представьте её в том виде, в котором комфортно брать производную.

2. Возьмите производную, применяя правила дифференцирования и таблицу производных. В ней находятся производные основных элементарных функций: линейных, степенных, показательных, логарифмических, тригонометрических, обратных тригонометрических. Производные элементарных функций желанно знать назубок.

3. Производная непрерывной (неизменяемой) функции равна нулю. Пример неизменяемой функции: y=5.

4. Правила дифференцирования.Пускай с – непрерывное число, u(x) и v(x) – некоторые дифференцируемые функции.1) (cu)’=cu’;2) (u+v)’=u’+v’;3) (u-v)’=u’-v’;4) (uv)’=u’v+v’u;5) (u/v)’=(u’v-v’u)/v^2В случае трудной функции нужно ступенчато брать производные элементарных функций, входящих в состав трудной функции, и перемножать их. Рассматривайте, что в трудной функции одна функция является доводом иной функции.Разглядим пример.(cos(5x-2))’=cos'(5x-2)*(5x-2)’=-sin(5x-2)*5=-5sin(5x-2).В данном примере мы ступенчато берем производную функции косинуса с доводом (5x-2) и производную линейной функции (5x-2) с доводом x. Перемножаем производные.

5. Упростите полученное выражение.

6. Если нужно обнаружить производную функции в заданной точке, подставьте значение этой точки в полученное выражение для производной.

Видео по теме

Совет 5: Как обнаружить производную от заданной функции

Задача взятия производной от заданной функции является базовой как для учащихся средних школ, так и для студентов высших учебных заведений. Немыслимо в полной мере освоить курс математики без усвоения представления производной. Но не стоит пугаться прежде времени – всякую производную дозволено вычислить применяя простейшие алгорифмы дифференцирования и зная производные элементарных функций.

Взятие производной функции - задача, доступная всякому

Вам понадобится

  • Таблица производных элементарных функций, правила дифференцирования

Инструкция

1. По определению производной функции является отношение приращения функции к приращению довода за безгранично малый интервал времени. Таким образом, производная показывает связанность роста функции от метаморфозы довода.

2. Для того дабы обнаружить производную элементарной функции довольно воспользоваться таблицей производных. Полная таблица производных элементарных функций приведена на рисунке.

Таблица производных элементарных функций

3. Для того, дабы обнаружить производную сумму (разности) 2-х элементарных функций мы используем правило дифференцирования суммы: производная суммы функций равна сумме их производных. Это записывается как:(f(x)+g(x))’=f'(x)+g'(x). Тут символом (‘) показывается взятие производной от функции. А дальше задача сводится к взятию производных 2-х элементарных функций, описанная на предыдущем шаге.

4. Для того дабы обнаружить производную произведения 2-х функций, нужно воспользоваться еще одним правилом дифференцирования:(f(x)*g(x))’=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x), то есть производная произведения равна сумме произведения производной первого множителя на 2-й и первого множителя на производную второго. Обнаружить производную частного дозволено по формуле, представленной на картинке. Она дюже схожа на правило взятия производной произведения, только взамен суммы в числителе стоит разность, и добавляется знаменатель, в котором находится квадрат знаменателя заданной функции.

Производная частного

5. Взятие производной трудной функции – особенно сложная задача при дифференцировании (трудной функцией именуется функция, доводом которой является какая-нибудь связанность). Но и она решается по достаточно простому алгорифму. Вначале мы берем производную по трудному доводу, считая его простым. После этого мы умножаем полученное выражение на производную трудного довода. Так мы можем обнаружить производную функции с всякий степенью вложенности.

Совет 6: Как искать производную

Дифференцирование функций, то есть нахождение их производных — основа основ математического обзора. Именно с открытия производных, собственно, и началось становление этой ветви математики. В физике, а также и в иных дисциплинах, имеющих дело с процессами, дифференцирование играет наиглавнейшую роль.

Как искать производную

Инструкция

1. В самом простом определении, производной от функции f(x) в точке x0 именуется предел отношения приращения этой функции к приращению ее довода, если приращение довода тяготится к нулю. В определенном смысле, производная обозначает скорость метаморфозы функции в данной точке.Приращения в математике обозначаются буквой ?. Приращение функции ?y = f(x0 + ?x) – f(x0). Тогда производная будет равна f?(x0) = lim(?y/?x), ?x ? 0 = ?y/?x. Знак ? обозначает безмерно малое приращение, либо дифференциал.

2. Функция g(x), для которой в всякий точке x0 ее области определения g(x0) = f?(x0) именуется производной функцией, либо примитивно производной, и обозначается f?(x).

3. Дабы вычислить производную заданной функции, дозволено, исходя из ее определения, сосчитать предел отношения (?y/?x). При этом класснее каждого преобразовать это выражение так, дабы ?x дозволено было в итоге легко опустить.Скажем, представим, что вам надобно обнаружить производную от функции f(x) = x^2. ?y = (x + ?x)^2 – x^2 = 2x?x + ?x^2. Это значит, что предел отношения ?y/?x равен пределу выражения 2x + ?x. Видимо, что если ?x тяготится к нулю, то это выражение тяготится к 2x. Выходит, (x^2)? = 2x.

4. Непосредственным вычислением находят базовые, т.н. табличные производные. При решении задач на нахождение производных надобно неизменно усердствовать свести заданную производную к табличным.

5. Производная всякий константы неизменно равна нулю: (C)? = 0.

6. Для всякого p > 0 производная от функции x^p равна p*x^(p-1). Если p < 0, то (x^p)? = -1/(p*x^(p+1)). Скажем, (x^4)? = 4x^3, а (1/x)? = -1/(x^2).

7. Если a > 0 и a ? 1, то (a^x)? = (a^x)* ln(a). Из этого, в частности, следует, что (e^x)? = e^x.Производная логарифма x по основанию a равна 1/(x*ln(a)). Таким образом, (ln(x))? = 1/x.

8. Производные тригонометрических функций связаны между собой простым соотношением:(sin(x))? = cos(x); (cos(x))? = -sin(x).

9. Производная суммы функций равна сумме производных: (f(x) + g(x))? = f?(x) + g?(x).

10. Если u(x) и v(x) — функции, у которых есть производные, то (u*v)? = u?*v + u*v?. Скажем, (x*sin(x))? = x?*sin(x) + x* (sin(x))? = sin(x) + x*cos(x).Производная от частного u/v равна (u?*v &#8211; u*v?)/(v^2). Скажем, если f(x) = sin(x)/x, то f?(x) = (sin(x) &#8211; x*cos(x))/(x^2).Из этого, в частности, следует, что если k — константа, то (k*f(x))? = k*f?(x).

11. Если дана функция, которую дозволено представить в виде f(g(x)), то f(u) именуется внешней функцией, а u = g(x) — внутренней. Тогда f(g(x))? = f?(g(x))*g? (x).Скажем, если дана функция f(x) = sin(x)^2, то f?(x) = 2*sin(x)*cos(x). Тут квадрат — внешняя функция, а синус — внутренняя. С иной стороны, sin(x^2)? = cos(x^2)*2x. В этом примере синус — внешняя функция, а квадрат — внутренняя.

12. Тем же путем, что и производную , дозволено вычислить производную от производной. Такая функция будет именоваться 2-й производной от f(x) и обозначаться f?(x). Скажем, (x^3)? = (3x^2)? = 6x.Могут существовать и производные больше высоких порядков — третья, четвертая и т.д.

Совет 7: Как обнаружить производную первого порядка

Представление производной, характеризующее скорость метаморфозы функции, является основным в дифференциальном исчислении. Производной функции f(x) в точке x0, именуется следующее выражение: lim(x?x0) (f(x) – f(x0)) / (x – x0), т.е. предел к которому тяготится отношение приращения функции f в этой точке (f(x) – f(x0)) к соответствующему приращению довода (x – x0).

Как обнаружить производную первого порядка

Инструкция

1. Дабы обнаружить производную первого порядка, пользуйтесь следующими правилами дифференцирования. Во-первых, на забывайте самые примитивные из них &#8211; производная константы равна 0, а производная переменной равна 1. Скажем: 5’ = 0, x’ = 1. А также помните про то, что константу дозволено переносить из под знака производной. Скажем, (3 * 2^x)’ = 3 * (2^x)’. Обратите внимание на эти примитивные правила. Дюже зачастую, решая пример, дозволено не учесть &#8220;отдельно стоящую&#8221; переменную и не продифференцировать ее (скажем, в примере (x * sin x / ln x + x) это последняя переменная x).

2. Следующее правило &#8211; производная суммы: (x + y)’ = x’ + y’. Разглядите дальнейший пример. Пускай нужно обнаружить производную первого порядка (x^3 + sin x)’ = (x^3)’ + (sin x)&#8217; = 3*x^2 + cos x. В этом и последующих примерах позже облегчения начального выражения пользуйтесь таблицей производных функций, которую дозволено обнаружить, скажем, в указанном дополнительном источнике. Согласно этой таблице для приведенного выше примера получилось, что производная x^3 = 3 * x^2, а производная функции sin x равна cos x.

3. Также при нахождении производной функции зачастую применяется правило производной произведения: (x * y)’ = x’ * y + x * y’. Пример: (x^3 * sin x)’ = (x^3)’ * sin x + x^3 * (sin x)’ = 3 * x^2 sin x + x^3 * cos x. Дальше в этом примере дозволено перенести множитель x^2 за скобки: x^2 * (3 * sin x + x * cos x). Решите больше непростой пример: обнаружьте производную выражения (x^2 + x + 1) * cos x. В данном случае делать надобно также, только взамен первого множителя выступает квадратный трехчлен, дифференцируемый по правилу производной суммы. ((x^2 + x + 1) * cos x)’ = (x^2 + x + 1)’ * cos x + (x^2 + x + 1) * (cos x)’ = (2 * x + 1) * cos x + (x^2 + x + 1) * (- sin x).

REDMOND

4. Если нужно обнаружить производную частного 2-х функций, воспользуйтесь правилом производной частного: (x/y)’ = (x’y – y’x) / y^2. Пример: (sin x / e^x) = ((sin x)’ * e^x – (e^x)’ * sin x) / e^(2 * x) = (cos x * e^x &#8211; e^x * sin x) / e^(2 * x) = e^x * (cos x + sin x) / e^(2 * x) = (cos x + sin x) / e^x.

5. Пускай имеется трудная функция, скажем sin(x^2 + x + 1). Для того, дабы обнаружить ее производную, нужно применить правило для производной трудной функции: (x (y))’ = (x (y))’ * y’. Т.е. вначале берется производная «внешней функции», и итог умножается на производную внутренней функции. В данной примере (sin(x^2 + x + 1))’ = cos (x^2 + x + 1) * (2 * x + 1).

Полезный совет
Обратный процесс к дифференцированию – это интегрирование. Если вы отменно им обладаете, то можете совершить проверку – проинтегрируйте получившийся итог и сравните с начальным выражением. Итоги обязаны сойтись.

Совет 8: Как находить производную от числа

Задача нахождения производной стоит как перед учениками старших классов школ, так и перед студентами. Для удачного дифференцирования требуется наблюдательно и опрятно следовать определенным правилам и алгорифмам.

Как находить производную от числа

Вам понадобится

  • &#8211; таблица производных;
  • &#8211; правила дифференцирования.

Инструкция

1. Проанализируйте производную . Если она представляет собой произведение либо сумму, разложите по знаменитым правилам. В случае, если одно из слагаемых — число, воспользуйтесь формулами из пунктов 2-5 и 7.

2. Помните, что производная числа (константы) равна нулю. Производная по определению есть скорость метаморфозы функции, а скорость метаморфозы непрерывной величины — нуль. При необходимости это доказывается с подмогой определения производной, через пределы — приращение функции равно нулю, а нуль разделять на приращение довода есть нуль. Следственно, предел нуля тоже есть нуль.

3. Не забывайте, что, имея произведение непрерывного множителя и переменной, дозволено перенести константу за знак производной и дифференцировать только оставшуюся функцию: (cU)&#8217;=cU&#8217;, где «c» – константа; «U» — любая функция.

4. Имея один из частных случаев производной дроби, когда в числителе взамен функции стоит число, воспользуйтесь формулой: производная равна минус произведению константы на производную знаменателя, деленное на стоящую в знаменателе функцию в квадрате: (c/U)&#8217;=(-c·U&#8217;)/U2.

5. Возьмите производную по второму следствию производной дроби: если константа стоит в знаменателе, а в числителе функция, то единица, деленная на константу, всё равно число, потому следует переносить число из-под знака производной и изменять только функцию: (U/c)&#8217;=(1/c)·U&#8217;.

6. Отличайте показатель перед доводом («х») и перед функцией (f(x)). Если число стоит перед доводом, то функция — трудная, и ее нужно дифференцировать по правилам трудных функций.

7. Если имеете показательную функцию ах, в этом случае число возводится в степень переменной, и значит, надобно брать производную по формуле: (ах)&#8217;=lna·ах. Будьте осмотрительны и помните, что основанием показательной функции может быть всякое позитивное число чудесное от единицы. Если основание показательной функции — число е, то формула примет вид: (ех)&#8217;=ех.

Видео по теме

Совет 9: Как обнаружить площать прямоугольника

О площади прямоугольника начинают говорить еще в младших классах. Существуют разные формулы, с подмогой которых дозволено вычислить её. Разглядим некоторые из них.

Как обнаружить площать прямоугольника

Вам понадобится

  • -линейка;
  • -карандаш;
  • -калькулятор.

Инструкция

1. Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы равны 90 градусам. Его размеры определяются длиной сторон. Он владеет рядом свойств:- противолежащие стороны равны и параллельны;- диагонали равны и делятся напополам в точке пересечения;- его дозволено поделить на два равных прямоугольных треугольника;-вокруг прямоугольника дозволено описать окружность, её диаметр равен длине его диагонали.

2. Площадь прямоугольника представляет собой произведение сторон, принадлежащих одному углу. Обозначается латинской буквой S. Если имеется определенный прямоугольник , у которого a – длина, а b – ширина, формула площади имеет вид:S = a?b. Это самая распространенная и элементарная формула.

3. Дозволено обнаружить площадь, если имеются данные о его периметре.. Периметр прямоугольника равен сумме его сторон умноженной на два :P= (a+b)?2. Если в задаче знаменит он и одна сторона, то следует воспользоваться дальнейшей формулой:S = a?((P-2a)/2)

4. Так же дозволено воспользоваться расчетом площади прямоугольного треугольника. Она равна произведению половины его катетов. Гипотенуза будет представлять собой диагональ прямоугольника, а катеты будут являться сторонами. Для того дабы обнаружить его площадь, нужно умножить полученное значение на два. Такой вариант подходит тем, кто знает, как обнаружить площадь треугольника.

5. Для нахождения площади могут быть задействованы и тригонометрические функции. Диагональ дозволено обнаружить по формуле: d = ?(a2 + b2). Углы между диагоналями находятся дальнейшим образом:? = 2arctg(a/b),? = 2arctg(b/a), ? + ? = 180°. Если знаменита длина диагоналей и угол между ними, площадь находится по формуле:S = d2•sin(?/2)•cos(?/2).

6. Если прямоугольник вписан в окружность, его диагональ будет равна радиусу этой окружности. А площадь дозволено обнаружить дальнейшим образом:S = a??(R^2-a^2).

7. Четырёхугольник у которого все стороны равны именуется квадратом. Его площадь равна длине его сторон в квадрате. Еще ее дозволено обнаружить как квадрат его диагонали поделенный на два.

Видео по теме

Совет 10: Как обнаружить производную функцию в точке

Функция может быть дифференцируема при всяких значениях довода, может иметь производную лишь на определенных промежутках либо совсем не иметь производной. Но если функция имеет производную в некоторой точке — это неизменно число, а не математическое выражение.

Как обнаружить производную функцию в точке

Инструкция

1. Если функция Y одного довода x задана в виде зависимости Y = F (x), определите ее первую производную Y&#8217; = F'(x) с поддержкой правил дифференцирования. Дабы обнаружить производную функции в определенной точке х?, заблаговременно разглядите область возможных значений довода. Если х? принадлежит этой области, то подставьте значение х? в выражение F'(x) и определите желанное значение Y&#8217;.

2. Геометрически производная функции в точке определена как тангенс угла между правильным направлением оси абсцисс и касательной к графику функции в точке касания. Касательная — это прямая, а уравнение прямой в всеобщем виде записывается как y=kx +a. Точка касания х? всеобщая для 2-х графиков &#8211; функции и касательной. Следственно, Y(х?) = y(х?). Показатель k и есть значение производной в заданной точке Y&#8217; (х?).

3. Если исследуемая функция задана в графическом виде на координатной плоскости, то для нахождения производной функции в надобной точке проведите через эту точку касательную к графику функции. Касательная — это предельное расположение секущей при максимальном сближении точек пересечения секущей с графиком заданной функции. Вестимо, что касательная перпендикулярна радиусу кривизны графика в точке касания. При отсутствии других начальных данных познания о свойствах касательной помогут начертить ее с большей достоверностью.

4. Отрезок касательной от точки касания графика до пересечения с осью абсцисс образует гипотенузу прямоугольного треугольника. Один из катетов — ордината заданной точки, иной — отрезок оси ОХ от точки пересечения с касательной до проекции исследуемой точки на ось ОХ. Тангенс угла наклона касательной к оси ОХ определяется как отношение противолежащего катета (ординаты точки касания) к прилежащему. Полученное число является желанным значением производной функции в заданной точке.

Совет 11: Как находить значение производной функции

Процесс нахождения производной функции именуется дифференцированием. Одна и та же функция может при одних значениях довода иметь производную, а при других — не иметь.

Как находить значение производной функции

Инструкция

1. Раньше чем искать производную функции нужно изучать область значений довода и исключить те интервалы, при которых существование функции немыслимо. Скажем, для функции f=1/x неприемлемо значение довода х=0, а для функции z=logа x возможны только позитивные значения довода.

2. Производные примитивных функций одного довода находятся по формулам дифференцирования, которые дозволено запомнить либо при необходимости обнаружить в таблицах производных элементарных функций. Скажем, производная непрерывной неизменно равна нулю, производная линейной функции f(x)=kx равна показателю k: f'(x)=k, функция f(x)= x? имеет производную f'(x)=2x.

3. При дифференцировании действуют правила, всеобщие для всякий функции:- непрерывный множитель дозволено переносить за знак производной: (k*f(x))&#8217;=k*(f(x))&#8217;;- производная суммы нескольких функций одного и того же довода равна сумме производных этих функций: (z(x) + f(x))&#8217;=z'(x)+f'(x);- производная произведения 2-х функций равна сумме произведений производной первой функции на вторую функцию и первой функции на производную 2-й функции: (z(x)*f(x))&#8217;=z'(x)*f(x) + z(x)*f'(x);- производная частного 2-х функций выглядит так: (z/f)&#8217;= (z&#8217;*f- z*f&#8217;)/f?.

4. Раньше чем использовать эти правила при дифференцировании трудной функции, имеет толк попытаться упростить начальное выражение. Скажем, если надобно обнаружить производную дроби с многочленом в числителе, дозволено почленно поделить числитель на знаменатель. Тогда нахождение производной частного функций заменяется на вычисление производной алгебраической суммы функций. Финально, всякое слагаемое в полученном выражении останется дробью, и находить производную частного придется, но выражения будут менее массивными, и процесс дифференцирования значительно упростится. Для вычисления значения производной от функции в определенной точке, в полученном результате взамен довода x подставьте его численное значение и рассчитайте выражение.

Совет 12: Каков физический толк производной

Производная функции &#8211; детище дифференциального исчисления Ньютона и Лейбница &#8211; владеет абсолютно определенным физическим смыслом, если разглядеть ее поглубже.

Каков физический толк производной

Общий толк производной

Производная функции – это предел, к которому тяготится отношение приращения значения функции к приращению довода при тяготении последнего к нулю. Для неподготовленного человека звучит весьма абстрактно. Если разобраться, будет видно, что это не так.Для того дабы обнаружить производную функции, возьмите произвольную функцию – связанность «игрека» от «икса». Замените в выражении этой функции ее довод на приращение довода и поделите полученное выражение на само приращение. Вы получите дробь. Дальше нужно провести операцию предела. Для этого надобно устремить приращение довода к нулю и пронаблюдать, к чему устремится в этом случае ваша дробь. Та финальная, как водится, величина и будет являться производной функции. Обратите внимание, что в выражении для производной функции теснее не будет никаких приращений, потому как вы устремили их нулю, следственно останется только сама переменная и (либо) константа.Выходит, производная &#8211; это отношение приращения функции к приращению довода. Каков же толк такой величины? Если вы, скажем, обнаружите производную линейной функции, то вы увидите, что она непрерывна. Причем эта константа в выражении самой функции примитивно умножается на довод. Дальше, если вы возведете график данной функции при различных значениях производной, примитивно меняя ее раз за разом, то вы подметите, что при крупных ее значениях наклон прямой становится огромнее, и напротив. Если же вы имеете дело не с линейной функцией, то значение производной в данной точке скажет вам о наклоне касательной, проведенной в данной точке функции. Таким образом, значение производной функции говорит о скорости роста функции в данной точке.

Физический толк производной

Сейчас, дабы осознать физический толк производной, довольно примитивно заменить вашу абстрактную функцию на всякую физически обоснованную. К примеру, пускай вы имеете связанность пути перемещения тела от времени. Тогда производная от такой функции скажет вам о скорости перемещения тела. Если вы получите значение непрерывное, то дозволено будет говорить о том, что тело перемещается равномерно, то есть с непрерывной скоростью. Если же вы получите выражение для производной, линейно зависящее от времени, то станет ясно, что движение равноускоренное, потому как вторая производная, то есть производная данной производной, будет непрерывной, что реально обозначает постоянство скорости скорости тела, а это и есть его убыстрение. Вы можете подобрать всякую иную физическую функцию и увидеть, что ее производная даст вам определенный физический толк.

Совет 13: Как обнаружить производную е

Число е является непрерывной величиной и примерно равно 2,7. Существуют разные случаи для нахождения производной степенной функцией, основанием которой является число е.

Как обнаружить производную е

Вам понадобится

  • &#8211; доступ в интернет

Инструкция

1. Дабы обнаружить производную функции, имеющей вид у = е?, воспользуйтесь стержневой формулой нахождения производной в данном случае. Ее производная будет также равняться у? = е?.

2. Для нахождения производной функции вида у = ke?, нужно е? умножить на показатель, т.е. у?= k ? e?

3. Если вам необходимо обнаружить производную трудной функции, скажем: у = е в степени ( х? &#8211; 2х + 1), вычислите произведение данной функции на производную показателя степени. Это будет выглядеть таким образом: у?= е в степени (х? &#8211; 2х + 1) ? степень (х? &#8211; 2х + 1)

4. Дабы обнаружить производную функции, имеющую вид у = е?, воспользуйтесь стержневой формулой нахождения производной в данном случае. Ее производная будет также равняться у? = е?.

5. Дабы обнаружить производную такого вида: у = е?? + 2е?, обнаружьте производную всякого из слагаемых, после этого сложите полученные итоги: у? = (е??)? + (2е?)?; у? = 3е?? + 2е?.

6. Для нахождения производной всякий функции, в том числе и степенной с основанием е, воспользуйтесь сервисом http://www.matcabi.net/differentiate.php. Тут помимо вычисления производных, вы сумеете ознакомиться с теорией по разным темам, таким, как: «Производная», «Пределы», «Интеграл».

7. Посетите сайт http://mathserfer.com/math/task.php?tname=diff. На основной странице вы сумеете вычислять производные функций on-line, с приобретением подробного решения задач. Решение производных функции основано на применении правил дифференцирования, постигаемых в курсе математического обзора.

8. Дабы обнаружить производную функции введите ее в поле «Функция» для дифференцирования согласно правилам ввода данных.

9. После этого укажите переменную дифференцирования. Обыкновенно это «x».

10. Если требуется обнаружить производную высших порядков, изберите соответствующий порядок дифференцирования.

11. Дабы обнаружить производную вашей функции нажмите «Проверить введенные данные» и, кнопку «Решить».

Научный форум dxdy

mt/post.png
Мне нужно взять производную от FQ по Qj. Т. е. чтобы в первой строке (FQ1) взялась производная по Q1, во второй строке — по Q2 и т.д.
Никак не хочет. Ругается то на тип переменной типа Qj под знаком дифференциала, то на саму функцию (this value must be a scalar), то просто на погоду.
Есть какие-то варианты?
У меня вообще не получается брать производные, если в функции встречается хоть один индекс. Видимо, виноваты мои ручки
Как заставить Маткад увидеть скаляр в выражении?
Спасибо за помощь!

P.S. Ессно все j, k, l, m . определены выше.

Здесь все дело именно в типе данных. Mathcad считает, что это не переменные, а скаляры. Задайте неизвестные вектором, наверняка, есть пример в help’e.

Я, когда начинал работать с СКМ, начал с MathCad, но очень скоро отказался — на мой взгляд очень капризная вещь.
Переходите на Maple.

Я с Maple еще не сильно освоился. У меня там проблема возникает уже на первой формуле. Там, где Маткад автоматически делает массив (как на рисунке), Мапл выдает ошибку и просит все правильно обозначить. А КАК это сделать — знаний нету. Только help читать.
Да и с перерасчетом всего листа у Maple как-то туго получилось (во всяком случае, у меня). Мне нужно сделать алгоритм, а потом менять в самом начале значения переменных. У Маткада это проходит на ура, а вот Мапл чуть ли не циклится (в ходе алгоритма постоянно присваиваю одной и той же переменной разные значения. Маткад читает сверху вниз и все отлично, а вот Мапл вычисляет по всему листу).

Имхо, Маткад наоборот считает переменные вектором и просит их перевести в скаляр (this value must be a scalar). А вот как это сделать
Выкладываю весь пример в MathCad13: www.paco.net/

Мне главное — чтобы MatCad это делал автоматически для любого m, n, k. Как с верхними формулами.

Я, конечно, посмотрю вечерком Ваш пример, если у меня дома откроется, у не понмю какая версия MathCad есть у меня, а если я не ошибаюсь у них есть проблема несовместимости.

Если будут время, то сделаю в Maple.
Относительно

делайте разные скобки(секции) и вычисляйте как угодно. Все там нормально

Если я ничего не напутал, смотря на Вашу запись, то вот код в Maple

Я думаю проблем не будет и с циклом и дополнительными индексами. Можно это оформить как процедуру и в цикле подставлейте любые значения параметров.

Ваш файл diplom. xmcd у меня не открылся (MathCad 2000).

Громадное спасибо за желание помочь!
Начал разбираться с Maple. и понял, насколько удобнее для неосведомленного ума MathCad.

Вот, что я ввел в Maple:

Вот что получил Явно где-то что-то в матрицах недообозначил.
Если Вы заметили, то я немного подправил формулу (ночью ошибка приснилась ).

Но насколько же Маткад удобнее! Может, там все-таки можно как-то взять эту производную?
Ведь всего то и делов. Взять производную от вектора по Q[j], приравнять к нулю и решить уравнения, найдя Q[j].
Все остальные действия — повторяющиеся.
На всякий случай прилагаю полный пример в формате MathCad11 (13 Маткад на более раниие версии не хочет сохранять):
www.paco.net/

Ну и в html, если не откроется:
www.paco.net/

Сейчас опять поигрался в Maple 10. Не получается ничего, совсем синтаксиса не знаю
Он еще и различает, к примеру, команды matrix и Matrix; vector и Vector. Совсем запутался.

Вот если бы мне кто-то описал мой пример. не весь. хотя бы до первой суммы в формуле FQ[j]. т.е. все, что до нее (n, k, m, i, l, j, QR[i], P[i]) и "огрызок" FQ[j] = sum(P[i]*Q[j]*X[j,i],i=1..k). И производную от нее по Q[j].
А дальше я по аналогии, думаю, смогу.

P.S. A что делает фраза with(linalg)? В справке почитал, что добавляет специальные функции. И пишется как with(LinearAlgebra).
Но на перемножении вектора с матрицей в формуле QR[i] я все-равно ступорюсь и получаю кучу ошибок: от invalid arguments до нечто футуристического:
Error, (in LinearAlgebra:-VectorMatrixMultiply) invalid input: LinearAlgebra:-VectorMatrixMultiply expects its 1st argument, v, to be of type Vector[row] but received Vector[Column]
Ему не все-равно, как вектор записан? В ряд или в столбик?

Ваш код в MathCad я посмотрю, но думаю ошибка в следующем:
$Q_i$наверняка задаете как вектор и MathCad воспринимает его как числовой. Следовательно, необходимо научить в MathCad задавать и работать в символьными переменными .

Относительно моего кода в Maple 10:

> with(linalg): //пакет linalg для работы с функциями линейной алгебры(есть еще более широкий пакет LinearAlgebra с более широкими возможностями откуда и команда Vector, а vector из linalg ) Также команды с большой буквы, например, Limit использую для вывода выражения, но не его вычисления, в станд. мат. написании.
> Tp:Ts: объявление переменных
> X:=matrix(3,2): объявление символьной матрицы X 3*2
> Q:=vector(3): объявление символьного вектор Q длиной 3
> FQ:=vector(3): и т.д.
> d:=vector(3):
> T:=matrix(3,3):
> Y:=matrix(3,3):
> Th:=vector(3):
> a:=vector(2):b:=vector(2):
> P_t:=multiply(Q,X): //перемножение вектора и матрицы, т.е. то что у Вас в скобках
>
// формирование $P_i$по Вашей общей формуле в сумме
> for i from 1 to 2 do
> P[i]:=a[i]-b[i]*P_t[i];
> end do:
>
>// собственно вычисление по указанной формуле
> for j from 1 to 3 do
> FQ[j]:=sum(P[l]*Q[j]*X[j,l],l=1..2)-d[j]*Q[j]-sum(Y[j,l]*Q[j]*T[j,l],l=1..3)-Ts*Q[j]*Th[j]-Tp*Q[j];
> end do;
>
> формирование последовательности производных, т.е. производная каждой строки полученного вектора по переменной или воспользуйтесь отдельно командой diff(FQ[j],Q[j]);, где вместо j подставляйте 1,2,3 и будете получать соответствующие производные.
> seq(diff(FQ[j],Q[j]), j=1..3):
>

REDMOND

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *