Как задать систему уравнений в maple

Корпорация "Центр"

Пример решения системы линейных уравнений

Приведем еще один характерный пример — решение системы линейных уравнений с помощью функции solve (рис. 1.20). Обратите внимание на форму задания уравнений и выдачи результатов и поразительную естественность решения задачи. Значение переменной z на рис. 1.20 выделено, где видно, что Maple отображает его поле под панелью инструментов.

Слова solve, diff и int с их аргументами являются именами встроенных в систему функций, возвращающих символьные значения результатов. Нормальному пользователю может стать дурно, если вспомнить, что таких функций с их вариантами система Maple 7 имеет около трех тысяч! Да к тому же многие функции (та же solve для решения уравнений) подчас могут применяться во многих случаях и имеют массу параметров и директив для уточнения направлений решения и расширения областей применения.

Решение задач линейной алгебры в системе MAPLE

Эру создания компьютерной символьной математики принято отсчитывать с начала 60-х годов. Именно тогда в вычислительной технике возникла новая ветвь компьютерной математики, не совсем точно, но зато броско названная компьютерной алгеброй. Речь шла о возможности создания компьютерных систем, способных осуществлять типовые алгебраические преобразования: подстановки в выражениях, упрощение выражений, операции со степенными многочленами (полиномами), решение линейных и нелинейных уравнений и их систем, вычисление их корней и т. д.

Содержание

ВВЕДЕНИЕ ………………………………………………………………………….3
Глава 1 Основные объекты и функции системы MAPLE ………………………..4
1.Основные объекты и системы…………………………………………………..4
2.Переменные, неизвестные и выражения……………………………………….5
3.Функции системы MAPLE …… ……………………………………………….7
Глава 2 Решение задач линейной алгебры с использованием MAPLE ………….9
2.1 Векторная алгебра……………………………………………………………….9
2.2 Действия с матрицами………………………………………………………….11
2.3 Спектральный анализ матрицы………………………………………………..16
2.4 Системы линейных уравнений и матричные уравнения…………………….19
2.5 Решение обыкновенных уравнений…………………………………………. 21
2.6 Решение неравенств……………………………………………………………22
ЗАКЛЮЧЕНИЕ …………………………………………………………………….24
ЛИТЕРАТУРА……………………………………………………………………. 25

Работа содержит 1 файл

курсовая.docx

Привести матрицу А к Жордановой форме, треугольному виду, найти ее характеристическую матрицу.

2.4 Системы линейных уравнений и матричные уравнения.

Система линейных уравнений может быть решена двумя способами.

Способ 1: стандартная команда solve находит решение системы линейных уравнений, записанных в развернутом виде:

Способ 2: команда linsolve(A,b) из пакета linalg находит решение уравнения . Аргументы этой команды: А – матрица, b – вектор.

С помощью команды linsolve(A,b) можно найти решение матричного уравнения АХ=В, если в качестве аргументов этой команды указать, соответственно, матрицы А и В.

Ядро матрицы А – это множество векторов х таких, произведение матрицы А на которые равно нулевому вектору: . Поиск ядра матрицы А эквивалентен решению системы линейных однородных уравнений. Найти ядро матрицы А можно командой kernel(A).

  1. Найти общее и одно частное решение системы:

Для нахождения частного решения следует выполнить подстановку конкретного значения одной из переменных при помощи команды subs:

  1. Решить матричное уравнение: АX=В; где ,
  1. Дана матрица .

Найти ее ранг, дефект: d(A)=n–r(A), где n – размерность квадратной матрицы, r – ее ранг. Найти ядро А. Наберите:

2.5 Решение обыкновенных уравнений.

Для решения уравнений в Maple существует универсальная команда solve(eq,x), где eq – уравнение, x – переменная, относительно которой уравнение надо разрешить. В результате выполнения этой команды в строке вывода появится выражение, которое является решением данного уравнения. Например:

Если уравнение имеет несколько решений, которые вам понадобятся для дальнейших расчетов, то команде solve следует присвоить какое-нибудь имя name. Обращение к какому-либо k–ому решению данного уравнения производится указанием его имени с номером решения k в квадратных скобках: name[k]. Например:

Решение систем уравнений.

Системы уравнений решаются с помощью такой же команды solve(,), только теперь в параметрах команды следует указывать в первых фигурных скобках через запятую уравнения, а во вторых фигурных скобках перечисляются через запятую переменные, относительно которых требуется решить систему. Если вам будет необходимо для дальнейших вычислений использовать полученные решения уравнений, то команде solve следует присвоить какое-нибудь имя name. Затем выполняется присвоения команда assign(name). После этого над решениями можно будет производить математические операции. Например:

2.6 Решение неравенств

Решение простых неравенств.

Команда solve применяется также для решения неравенств. Решение неравенства выдается в виде интервала изменения искомой переменной. В том случае, если решение неравенства полуось, то в поле вывода появляется конструкция вида RealRange(–¥ , Open(a)), которая означает, что xÎ (–¥ , a), а – некоторое число. Слово Open означает, что интервал с открытой границей. Если этого слова нет, то соответствующая граница интервала включена во множество решений. Например:

Если вы хотите получить решение неравенства не в виде интервального множества типа xÎ (a, b), а в виде ограничений для искомой переменной типа a<x, x< b, то переменную, относительно которой следует разрешить неравенство, следует указывать в фигурных скобках. Например:

Решение систем неравенств.

С помощью команды solve можно также решить систему неравенств. Например:

  1. Решите неравенство .

RealRange(Open(-3), Open(2)), RealRange(Open(5), Open(9))

Запишите этот результат в аналитическом виде. Получите решение этого неравенства в виде ограничений для искомой переменной. Проделайте это самостоятельно.

  1. Решите неравенство .

Многофункциональный пакет Maple представляет собой один из наиболее мощных математических пакетов. Его возможности охватывают достаточно много разделов математики и могут с пользой применяться на разных уровнях, начиная от обучения старшеклассников до уровня серьезных научных исследований. Maple — система аналитических вычислений для математического моделирования.

Методика решения некоторых задач линейной алгебры с помощью пакета Maple позволила значительно повысить эффективность процесса обучения. Путем наглядного представления материала сложные математические формулы и преобразования становятся гораздо проще, и процесс усвоения материала проходит намного эффективнее.

Корпорация "Центр"

Возможности Maple не ограничиваются решением задач математики. Используя навыки, полученные при изучении курса математики можно самостоятельно изучать такие дисциплины как: геометрия, тригонометрия, статистика, а также таких прикладных дисциплин как физика и астрономия.

Возможности пакета Maple, как средства обучения, весьма обширны и его использование является перспективным направлением в современном обучении.

МЕТОДИЧКА ПО MAPLE и MATHCAD

Поиск решения может потребовать больших ресурсов памяти и времени. Для нелинейных уравнений может быть найдено несколько решений (но не обязательно все), а может оказаться, что не найдено не одного решения. Если в ответе появляется функция RootOf, это означает, что Maple, либо не может выразить решение в радикалах, либо это требует дополнительных усилий.

Само решение при этом выражается через корни аргумента функции, стоящей внутри RootOf. Его можно найти численно

Функция allvalues позволяет представить решение, используя радикалы

Решение системы уравнений

Обратите внимание! Последние два решения совпадают, т.е. решения являются кратными.

Если неизвестных больше, чем уравнений, то Maple выберет какие, либо переменные в качестве параметров, например для системы, из трех уравнений с четырьмя переменными получим решение в виде

Явное указание неизвестных позволяет получить решение с нужным параметром

Численного решения системы уравнений функция fsolve()

Синтаксис функции fsolve(eqn,var,opt). С помощью дополнительного параметра opt могут быть заданы условия, устанавливающие местоположение, тип и число разыскиваемых решений.

Параметры команды fsolve

a..b или x=a..b Задание интервала [a,b] для поиска решений avoid= Поиск решений отличных от x=s

complex Поиск комплексных решений maxsols=n Поиск n наименьших решений

В качестве примера рассмотрим полином шестой степени, для

которого найдем корни, применяя команду fsolve без параметров

Найдем два наименьших корня полинома

Найдем вещественные и комплексные корни, отличающиеся от двух выше найденных

При решении трансцендентных уравнений желательно указывать предполагаемое положение корней. Решение без указания начального приближения (Трансцендентное уравнение ̵̵уравнение, не являющееся алгебраическим). Обычно это уравнения, содержащие показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические функции.

Решение с указанием начального приближения в виде точки

Задание начального приближения в виде интервала

Графическое решение уравнения

Функция solve позволяет находить решения одного неравенства относительно одной переменно. Кроме команд solve и fsolve в Maple имеются функции isolve(en) для отыскания решения уравнения в целых числах и msolve(eqn.m) для нахождения решения уравнения по модулю m.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)

Для получения аналитических, приближенных и численных решений дифференциальных уравнений применяется функция dsolve, причем во всех случаях используется единый синтаксис команды: dsolve(ODE,var,opt) , здесь ODE дифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений относительно неизвестной функции var. Для решения задачи Коши в уравнение ODE нужно включить так же начальные условия, а для краевой задачи соответственно краевые условия. Условие opt позволяют указать способ решения (type=. ) и используемый метод (method=. ). В уравнениях для указания производно применяется команда diff и оператор D, а для обозначения производной в начальных и краевых условиях используется оператор D. Система уравнений оформляется в виде множества: уравнения, начальные и краевые условия помещаются в фигурные скобки и записываются через запятую.

Аналитические решения ОДУ

Решение уравнения без задания начальных, граничных условий и метода решений. Обратите внимание на то, что решение уравнения содержит неопределенную постоянную _C1

Зададим начальные условия y'(0)=0, y(0)=-1. Обратите внимание, в этом случае решение уже не содержит неопределенную постоянную.

Корпорация "Центр"

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *