Как задать интервал в mathcad

Zoloto585CPA

Как задать интервал в mathcad

Обработка экспериментальных данных

Моделирование псевдослучайных чисел

Функция генерирует одно случайное число, равномерно распределенное в интервале [0, х].

Функции MathCAD генерирования случайных векторов. — число проекций случайного вектора

Равномерное распределение

Нормальное распределение

распределение

( число степеней свободы)

Пример. Необходимо сгенерировать два случайных вектора: – проекции имеют нормальное распределение (математическое ожидание равно –20, дисперсия 100); – проекции имеют распределение (с числом степеней свободы 10). Размерность векторов равна 100.

Функции MathCAD вычисления выборочных значений числовых характеристик. К числовым характеристикам случайной величины относятся: математическое ожидание (или среднее), дисперсия, среднеквадратическое отклонение и т.д. Часто возникает необходимость оценить эти характеристики по выборке значений случайной величины объема . Такие оценки называют выборочными значениями числовых характеристик.

В таблице приведены имена функций, вычисляющих выборочное значение часто используемых числовых характеристик. Здесь векторы размерности , составленные из значений случайной величины и .

Математическое ожидание случайной величины

Дисперсия случайной величины

Среднеквадратическое отклонение случайной величины

Медиана случайной величины

Мода случайной величины

Корреляционный момент двух случайных величин

Коэффициент корреляции двух случайных величин

Пример. На приведенном выше рисунке показан фрагмент документа MathCAD , в котором вычисляются выборочные значения некоторых числовых характеристик.

Задание. Сгенерируйте случайный вектор размерности 200, проекции которого равномерно распределены в интервале . Вычислите его числовые характеристики.

Увеличить размерность до 1000 и снова вычислить его числовые характеристики. Сравнить выборочные числовые характеристики с теоретическими.

ф ункции MathCAD вычисления частот значений случайной величины (построение гистограмм). Введём некоторые определения.

Предположим, что дана выборка случайной величины Х ( – объём выборки). Введём L +1 точку

Тогда число значений , попавших в интервал обозначим через и назовём частотой.

назовём относительной частотой, для которой выполняется условие

В качестве оценки плотности распределения вероятности непрерывной случайной величины Х используют гистограмму относительных частот, т.е. систему прямоугольников, k -й из которых основанием имеет а высота определяется по формуле

и имеет место приближенное тождество

где некоторое число из интервала .

Возникает вопрос: как сформировать интервалы ? Количество интервалов L рекомендуется вычислять по формуле

где – целая часть числа .

Значения wk , вычисляются по частотам . Поэтому для определения по выборке в MathCAD включены две функции:

hist(int,X), histogram(int,X).

Параметры функции hist ( int , X ):

int – массив длины ( L +1), составленный из значений Если параметр int задать целым числом, равным числу интервалов L , то при выполнении функции формируется рабочий массив узлов ;

X – массив длиной N , составленный из значений выборки .

Результатом работы функции является одномерный массив

Параметры функции histogram ( int , X ):

int – массив длины ( L +1), составленный из значений Если int задать целым числом, равным числу интервалов L , то при выполнении функции формируется рабочий массив узлов ;

Zoloto585CPA

Х – массив длиной N , составленный из значений выборки .

Результатом работы функций является матрица размером , первый столбец содержит значения (середины отрезков а второй столбец – значения .

Пример. Построить гистограммы относительных частот по выборкам случайных величин определенных в рассмотренном ранее примере. Объём выборки N = 1000.

На рисунке А показано построение гистограммы для случайной величины а на рисунке Б – для случайной величины с использованием функции histogram при L = 11. Середины отрезков «откладываются» по оси абсцисс, а для отображения гистограммы задаётся параметр solidbar (команда Формат контекстного меню, закладка Метки). Точками на рисунках показаны значения соответствующих плотностей распределений, вычисленных при .

Задание. По двум выборкам равномерно распределенных случайных чисел (объемом 200 и 2000) построить гистограммы.

Сделать вывод о влиянии объема выборки на точность оценивания плотности распределения случайной величины.

Как задать интервал в mathcad

БлогNot. MathCAD: решаем основные типы дифференциальных уравнений встроенными функциями

MathCAD: решаем основные типы дифференциальных уравнений встроенными функциями

Решать дифференциальные уравнения (далее ДУ) в MathCAD, составляя собственные подпрограммы-функции не всегда удобно и экономично по времени, хотя и полезно на этапе обучения. Опишем в этой заметке способы решения основных типов ДУ с помощью стандартных средств пакета, ограничимся простыми примерами.

1. ДУ с разделяющимися переменными. Общая постановка задачи: y’=f(x,y)=g(x)*h(y) , y(x0)=y0 . То есть, f(x,y) допускает представление в виде произведения функций от x и от y .

Для решения уравнения достаточно задать его правую часть как пользовательскую функцию MathCAD, определить интервал поиска решения [x0,x1] , начальное условие y0 и применить стандартную функцию Odesolve . Покажем этот процесс на примере уравнения y’=2x-y+x 2 , x∈[0,2] , y(0)=0 с известным решением y(x)=x 2 :

Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными
Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными

Знак "равно" в записи уравнений, конечно же, жирный (панель Boolean или сочетание клавиш Ctrl+=).

Функция Odesolve вернула именно функцию y , её нужно смотреть от аргумента, например, y(1)= .

И ещё 2 особенности:

Зная точное решение, графически сравним с ним найденное решение. Как видно на графике, MathCAD справился с задачей отлично.

Графики полученного и точного решения совпадают
Графики полученного и точного решения совпадают

2. Неоднородное ДУ первого порядка. В общем виде такое уравнение можно записать как y’=a(x)*y+b(x) . Оно решается аналитически по формуле, которую можно найти в любой книге по решению обыкновенных ДУ:

Формула для решения неоднородного ДУ первого порядка
Формула для решения неоднородного ДУ первого порядка

Здесь С – константа интегрирования. Остаётся применить формулу к конкретному уравнению (возьмём для примера задачу y’+2xy=x*e -x 2 sin(x) , y(0)=1 ) и оценить её символьно:

Аналитическое решение неоднородного ДУ первого порядка в MathCAD
Аналитическое решение неоднородного ДУ первого порядка в MathCAD

Здесь мы получаем решение в общем виде. Нижний оператор оценён символьно (см. панель "Символика"), а аргумент t используется, так как x в документе "уже занят" (для корректной работы символьной оценки переменные не должны быть определены заранее).

После подстановки начального условия получим частное решение y(t,Y0) , а для проверки решения будет достаточно подставить полученную функцию в исходное уравнение и упростить его символьной функцией simplify . Полученный результат в нашем случае совпал с заданной в условии правой частью. Также для y(x,Y0) , как и для любой функции, можно построить график на нужном интервале изменения x.

Проверка решения неоднородного ДУ первого порядка и построение графика
Проверка решения неоднородного ДУ первого порядка и построение графика

3. Неоднородное ДУ второго порядка. В общем виде имеем уравнение y» + p(x)*y’ + g(x)*y = f(x) плюс набор краевых условий, количество которых соответствует порядку задачи, например y(0)=. y'(0)=. или y(0)=. y(1)=.

Возьмём уравнение, которое мы мучили вот здесь, решим его стандартными средствами, сравним с известным точным решением и построим график:

Решение неоднородного ДУ второго порядка в MathCAD
Решение неоднородного ДУ второго порядка в MathCAD

Здесь при вызове Odesolve второй параметр, равный единице — это правая граница интервала, третий параметр, равный 10, задаёт количество интервалов. Точное решение u(t) взяли по ссылке. Как видим, даже на 10 интервалах всё очень хорошо совпадает.

4. Система ДУ. Подход к решению системы ДУ покажем на примере. Пусть задана система дифференциальных уравнений

x’ = a*x — y — (x 2 + y 2 )*x,
y’ = a*y + x — (x 2 + y 2 )*y,
x(0)=0, y(0)=1, a=-0.2

Чтобы решить эту систему стандартной функцией rkfixed , нужно задать для неё вектор начальных значений x = (x0, y0) и вектор правых частей D(t,x) .

После этого задача решится вызовом rkfixed , второй и третий параметры ( 0, 20 ) задают интервал по времени t , на котором ищется решение, четвёртый параметр 100 означает количество точек на интервале.

Функция вернёт матрицу решений системы, в которой количество строк соответствует количеству точек на интервале, а количество столбцов — количеству уравнений в системе.

Для построения графика достаточно отобразить зависимость столбцов Zi,1 , Zi,2 от Zi,0 , i=0..99 :

Решение системы ДУ в MathCAD функцией rkfixed
Решение системы ДУ в MathCAD функцией rkfixed

Как задать интервал в mathcad

Официальный сайт
Актуальная версия: PTC Mathcad 15 M045

All
Кто знает, из-за чего такая ошибка вылазит на ОС Win2k, хотя на XP все нормально?

(хотя конечно строже конструкция с otherwise) —
или просто определить две переменные, для первного и второго интервалов, и построить на одном графике две функции. Тогда появляется возможность выделить цветом каждый из интервалов.

Zoloto585CPA

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *