Как взять производную в maple

Корпорация "Центр"

Методы решения математических задач в Maple

Данная книга является учебным пособием по дисциплинам "Математика и информатика", "Информационные технологии". Пособие представляет собой практическое руководство по изучению возможностей пакета аналитических вычислений Maple. Подробные теоретические сведения чередуются с практическими заданиями. Последовательное изучение тем и выполнение заданий позволит шаг за шагом освоить основные приемы работы в математической системе Maple. Учебное пособие предназначено для студентов 1 и 2 курсов социально-психологического и естественно-географического факультетов университета, а также для аспирантов и научных работников, использующих математические методы и модели в естественнонаучных исследованиях.

Как взять производную в maple

б) переменная, по которой эту производную следует брать. Результатом выполнения процедуры является выражение, задающее искомую производную. Кроме того, существует неактивная форма процедуры вычисления производной – Diff () . В отличие от активной формы (той, что начинается со строчной буквы), неактивная используется не для непосредственного вычисления производной, а для символьной записи самой операции.

В дальнейшем выражение для производной может быть вычислено с помощью процедуры value() , если результат выполнения процедуры Diff () указать в качестве ее параметра.

Совет
Команда value() используется для вычисления значения не только упомянутой процедурыDiff (), но и других процедур в неактивной форме
.

Кроме того, для вычисления производных в Maple может использоваться оператор D . Однако в отличие от процедуры diff() , которая вычисляет производную от символьного выражения, оператор D используется для вычисления производной от оператора. Например, производную от синуса можно вычислить следующим образом.

С помощью оператора D это делается несколько иначе.

Допустим и такой синтаксис вызова оператора D .

В последнем случае в первых скобках после оператора D указывается оператор (функция), на который действует D , а в следующих скобках – аргумент для полученного в результате оператора (в данном случае оператора D(sin)=cos ).

На заметку
С точки зрения Maple функция и оператор – практически одно и то же. Под функцией будем, ради удобства, понимать результат действия оператора на аргумент. Иногда, если это не приводит к недоразумениям, функцией будем также называть и соответствующий оператор
.

Далее имеет смысл остановиться более детально на решении конкретных задач.

В последнем случае в первых скобках после оператора D указывается оператор (функция), на который действует D , а в следующих скобках – аргумент для полученного в результате оператора (в данном случае оператора D(sin)=cos ).

На заметку
С точки зрения Maple функция и оператор – практически одно и то же. Под функцией будем, ради удобства, понимать результат действия оператора на аргумент. Иногда, если это не приводит к недоразумениям, функцией будем также называть и соответствующий оператор
.

Далее имеет смысл остановиться более детально на решении конкретных задач.

Задача 4.1

Найти производную функции .y:=x->(x*sin(a)+cos(a))*(x*cos(a)-sin(a))

В первую очередь определим саму функцию, от которой следует брать производную. Сделать это можно следующим образом.

Здесь у – функция (ее название), которой в качестве значения присваивается оператор. Оператор задается так: сначала указывается аргумент (или несколько аргументов), потом отображается стрелка ( ), а после стрелки задается математическое выражение, определяющее действие оператора на аргумент. После того как функция задана, ее можно дифференцировать.

Если воспользоваться оператором D , то получим несколько иной результат.

Другими словами, результат такой операции – оператор. Приведенная выше запись значит, что аргументу х в результате действия на него оператора D(y) в соответствие ставится выражение, которое указано после стрелки.

Очень часто выражения, выводимые Maple в качестве результата выполнения той или иной операции, громоздки. Поэтому их приходится упрощать. В этом случае полезнапроцедура simplify() . В качестве ее аргумента указывается выражение, которое следует упрощать. В данном случае это переменная среды % . Переменная возвращает в качестве своего значения результат выполнения последней команды, причем не обязательно в текущем рабочем листе (в рассматриваемом случае переменная возвращает вычисленное выше выражение для производной).

Но даже после упрощения выражения его вид может не соответствовать представлениям пользователя о простоте и элегантности. На этот случай в Maple предусмотрен ряд полезных утилит, позволяющих привести выражения к приемлемому для пользователя виду. Среди них имеется такая процедура, как combine () .

Задача 4.2

Найти производную функции у(х) =х+х^х+х^(х^х).

В этом случае переменной у присвоим значение х+х^х+х^(х^х) (но теперь у – это уже не функция от х, а выражение!).

На заметку
Операция возведения в степень (^ или **) является бинарной. Это значит, что запись видаа^b^с некорректна. Следует использовать скобки: (а^b)^с
.

При дифференцировании в качестве первого аргумента процедуры diff () указывается выражение у (зависящее от х, но хочется еще раз подчеркнуть, это не функциональная зависимость) >diff(y,x) ;

В отличие от предыдущей задачи, зависимость выражения у от х явно не указывается (здесь как раз и проявляется то, что зависимость не является функциональной). В предыдущей задаче переменная у объявлялась как оператор, поэтому при ее вызове необходимо было указать, на какой аргумент она действует. В данном же случае у – это просто название выражения.

Однако самый незатейливый способ вычисления производной представлен ниже.

В качестве первого параметра в ней использована уже упоминавшаяся переменная среды ( % ), а вторым параметром указана опция trig . Это инструкция для вычислительного ядра Maple использовать встроенные алгоритмы преобразования тригонометрических выражений: в частности, произведения тригонометрических функций заменяются, где это возможно, тригонометрическими функциями от суммы (разности) аргументов.

На заметку
Доступ к справочной информации о процедуре combine (), как и о прочих процедурах и командах, можно получить, разместив в рабочем листе курсор на вызове этой процедуры и нажав F1. Там можно найти полезную информацию об используемых при преобразовании выражений алгоритмах, а также об опциях, которые позволяют использовать те или иные алгоритмы
.

Задача 4.3

Найти производную функции у(х)=х^(1/х).

В качестве параметра процедуры diff () можно сразу указать дифференцируемое выражение.

Поскольку очевидно, что в полученном после дифференцирования выражении имеется возможность вынести за скобки общий множитель, воспользуемся следующей командой.

Переменная среды % , указанная в качестве первого параметра процедуры collect() , определяет выражение, которое нужно преобразовать, а второй параметр указывает на то, что в выражении слагаемые следует группировать по степеням 1/х.

На заметку
Если при вызове процедуры collect() вторым параметром указать не 1/х, а х, результат не изменится. Причина в том, что 1/х – это х в степени -1
.

Вычислительное ядро Maple достаточно эффективно работает не только с непрерывными функциями, но и с такими, которые имеют точки (или области) разрывов.

Задача 4.4

Найти производную функции .

Корпорация "Центр"

При этом целая часть числа х возвращается функцией Maple floor() .

На заметку
ВMaple есть функция trune(), действие которой во многом аналогично действию функции floor(). Однако функция trunc() выделяет целую часть аргумента "в направлении О", в то время как функция floor () выделяет ближайшее целое число, не превышающее данное, указанное как аргумент. Для положительных чисел действия обеих функций эквивалентны, а для отрицательных чисел результаты отличаются на единицу
.

Дальше процедура вычисления производной уже знакома.

Последнее выражение содержит функцию floor() , у которой указано два аргумента. В этом случае первый аргумент определяет порядок производной, второй – непосредственно аргумент. Другими словами, floor(1,x) – это первая производная от функции floor(x) , которая во всех точках равна нулю, кроме целочисленных значений аргумента – в этих точках производная не определена (поскольку floor(х) в этих точках имеет неустранимый разрыв).

Полученное выражение, при желании, можно упростить.

Чтобы представить себе, что же это за функция, построим ее график.

В качестве первого аргумента процедуры plot() , используемой для отображения двухмерных графиков, указывается выражение, график которого следует построить. В данном случае это выражение определяется значением переменной среды % . Второй аргумент является равенством, где указывается переменная, относительно которой следует строить график (левая часть равенства), а после знака равенства – диапазон ее изменения.

На заметку
Если диапазон изменения не указать, то по умолчанию график строится на интервале -10..10
.

Следующие параметры являются необязательными. В приведенном примере это заголовок (опция title ) и шрифт для этого заголовка (опция title-font ). Значения этих опций указываются после знака равенства: заголовок (его значение) заключается в двойные кавычки, а шрифт – это список (в квадратных скобках через запятую указываются тип шрифта, его стиль и размер). Подробнее об опциях процедуры plot() можно узнать из приложения в конце книги. Там же имеется и информация о возможных значениях этих опций.

На заметку
Списком в Maple называется последовательность разделенных через запятую элементов (самого разного характера), заключенная в квадратные скобки. В списке имеет значение порядок следования элементов – при изменении очередности элементов по определению полагают, что список изменился. Последовательность Maple – это группа (в обычном, не математическом значении этого слова) выражений, разделенных запятыми. Пример последовательности: x,sin(t),5.3*6. Пример списка: [x,sin(t),5.3*6].
Если последовательность заключить в фигурные скобки, получится множество. От списка множество отличается тем, что не имеет значения ни порядок следования, ни количество совпадающих элементов
.

Внимание!
Некоторые параметры графиков можно изменять уже после их отображения в области вывода непосредственно с помощью кнопок контекстной панели двухмерной графики u команд раскрывающегося меню. Описание контекстной панели для двухмерных и трехмерных графиков приведено в главе 1, а описание опций можно найти в приложении.
Следует также иметь в виду, что внешний вид графиков, которые пользователь увидит на экране, если введет предложенные команды, может не соответствовать тому, что показано в книге. В этом случае желаемого результата можно добиться с помощью уже упомянутой контекстной панели или раскрывающегося меню. Как будет показано далее, внешний вид графиков можно задавать непосредственно с помощью опций процедурыplot(). Однако на данном этапе это не является первостепенной задачей
.

Методы решения математических задач в Maple

IV. Математический анализ: дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной

§1. Вычисление пределов

В Maple для некоторых математических операций существует по две команды: одна прямого, а другая – отложенного исполнения. Имена команд состоят из одинаковых букв за исключением первой: команды прямого исполнения начинаются со строчной буквы, а команды отложенного исполнения – с заглавной. После обращения к команде отложенного действия математические операции (интеграл, предел, производная и т.д.) выводятся на экран в виде стандартной аналитической записи этой операции. Вычисление в этом случае сразу не производится. Команда прямого исполнения выдает результат сразу.

Для вычисления пределов имеются две команды:

прямого исполнения – limit(expr,x=a,par), где expr – выражение, предел которого следует найти, a – значение точки, для которой вычисляется предел, par – необязательный параметр для поиска односторонних пределов (left – слева, right – справа) или указание типа переменной (real – действительная, complex – комплексная).

отложенного исполнения – Limit(expr,x=a,par), где параметры команды такие же, как и в предыдущем случае. Пример действий этих команд:

С помощью этих двух команд принято записывать математические выкладки в стандартном аналитическом виде, например:

> Limit(x*(Pi/2+arctan(x)),x=-infinity)=

limit(x*(Pi/2+arctan(x)), x=-infinity);

Односторонние пределы вычисляются с указанием параметров: left – для нахождения предела слева и righ – справа. Например:

limit(1/(1+exp(1/x)), x=0,right);

Задание 1.

Вычислить предел . Наберите:

Найти односторонние пределы и. Наберите:

limit(arctan(1/(1-x)), x=1, left);

limit(arctan(1/(1-x)),x=1, right);

§2. Дифференцирование

Вычисление производных.

Для вычисления производных в Maple имеются две команды:

прямого исполнения – diff(f,x), где f – функция, которую следует продифференцировать, x – имя переменной, по которой производится дифференцирование.

отложенного исполнения – Diff(f,x), где параметры команды такие же, как и в предыдущей. Действие этой команды сводится к аналитической записи производной в виде . После выполнения дифференцирования, полученное выражение желательно упростить. Для этого следует использовать команды simplify factor или expand, в зависимости от того, в каком виде вам нужен результат.

Для вычисления производных старших порядков следует указать в параметрах x$n, где n – порядок производной; например:

Полученное выражение можно упростить двумя способами:

Дифференциальный оператор.

Для определения дифференциального оператора используется команда D(f)f-функция. Например:

Корпорация "Центр"

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *