Как вычислить функцию в mathcad

REDMOND

ПРОСТЕЙШИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ И ОПЕРАЦИИ В MATHCAD

Если при вводе выражения была допущена ошибка, выделите неправильный символ угловой рамкой (щелкните мышью справа внизу возле символа), удалите выделенный символ (нажмите клавишу <Backspace>) и введите в помеченной позиции исправление.

Mathcad читает и выполняет введенные выражения слева направо и сверху вниз, поэтому следите, чтобы выражение для вычисления располагалось правее или ниже определенных для него значений переменных.

III. Определить функцию f(x) = , вычислить ее значение при х =1.2 и построить таблицу значений функции для х [0, 10] с шагом 1.

Указания: Отображение на экране:
1. Щелкните по свободному месту в рабочем документе, введите с клавиатуры f ( х ) = х + 1 <Space> / х ^ 2 <Space> + 1 и затем щелкните по рабочему документу вне поля ввода.
2. Щелкните по свободному месту в рабочем документе и введите с клавиатуры f(1.2)=. Сразу после ввода знака равенства немедленно выводится вычисленное значение функции f(x) при х = 1.2.
3. Задать дискретные значения аргумента х I [0, 10] с шагом 1: щелкнув по свободному месту в рабочем документе, введите с клавиатуры х : 0 , 1 ; 10 и щелкните вне поля ввода.
4. Щелкнув по свободному месту в рабочем документе, введите с клавиатуры f(x)=. В результате под именем функции появится таблица значений функции.

IV. Построить график функции f

Указания: Отображение на экране:
1. Щелкните по свободному месту в рабочем документе и введите с клавиатуры f( t ):е х р (- t^2 <Space> ) и щелкните мышью вне поля ввода.
2. Щелкните по свободному месту в рабочем документе, затем — по кнопке в панели математических инструментов и в открывшейся панели щелкните по кнопке . .
3. Курсор установлен в помеченной позиции возле оси абсцисс. Вве-дите с клавиатуры имя аргумента t, затем щелкните по помеченной позиции возле оси ординат, введите с клавиатуры f(t) и щелкните вне прямоугольной рамки.
4. График получился невыразительным. Нужно определить промежуток изменения аргумента равным [ 2, 2]. Для этого щелкните по полю графика, затем по числу, задающему наименьшее значение аргумента (число в левом нижнем углу ограниченного рамкой поля графиков), нажмите на клавишу <Backspace> и введите с клавиатуры 2 . Аналогично измените вторую границу вместо числа в правом нижнем углу поля графика введите 2. Щелкните мышью вне поля графика.

* При вводе с клавиатуры символа < : > в рабочем документе отображается знак присваивания:=

Выполните индивидуальные задания приведенные ниже. Подготовьте отчет по лабораторной работе в виде экранного документа.

Индивидуальные задания к лабораторной работе 1

I. Вычислить значения арифметических выражений:

1. 11.
2. 12.
3. 13.
4. 14.
5. 15.
6. 16.
7. 17.
8. 18.
9. 19.
10. 20.

II. Вычислить значение выражения:

1. , при 11. , при
2. , при 12. , при
3. , при 13. , при
4. , при 14. , при
5. , при 15. , при
6. , при 16. , при
7. , при 17. , при
8. , при 18. , при
9. , при 19. , при
10. , при 20. , при

III. Определить функцию f(x), вычислить ее значение при x=2,9 и построить таблицу значений функции для x [2;12] с шагом 1. Построить график функции.

1. 11.
2. 12.
3. 13.
4. 14.
5. 15.
6. 16.
7. 17.
8. 18.
9. 19.
10. 20.

Контрольные вопросы:

1. Что такое табулирование функции?

2. Каково предназначение математического пакета MathCad?

3. Приведите простейший пример вычислительной задачи.

Литература:

1.Информатика: Базовый курс. Учебник под редакцией С.В.Симановича.

2.Половко А.М., Ганичев И.В. MathCad для студента. – Спб. : БХВ-Петербург, 2006. -336 с. : ил.

3.Ю.Ю.Тарасевич Численные методы на MathCad. – Астраханский гос. Пед. Ун-т: Астрахань,2000.

4.Могилёв, А. В., и др. Информатика: Учеб. Пособие Под. Ред. Хеннера Е. К. М.: Изд. Центр “Академия”,2000. -816с.

5.Ушаков А. Н. , Ушакова Н. Ю. Секреты для инженерных и научных расчетов. – Оренбург: ОГУ, 2001. — №—с.

Лабораторная работа 2

Порядок выполнения работы

I. Упростить выражение

Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями.

Большинство вычислений в Mathcad можно выполнить тремя способами выбором операции в меню, с помощью кнопочных панелей инструментов или обращением к соответствующим функциям.

Преобразование алгебраических выражений

В Mathcad можно выполнить следующие символьные преобразования алгебраических выражений:

simplify (упростить) выполнить арифметические операции, привести подобные, сократить дроби, использовать для упрощения основные тождества (формулы сокращенного умножения, тригонометрические тождества и т.п.);

expand (развернуть) раскрыть скобки, перемножить и привести подобные;

factor (разложить на множители) представить, если возможно, выражение в виде произведения простых сомножителей;

substitute (подставить) заменить в алгебраическом выражении букву или выражение другим выражением;

convert to partial fraction разложить рациональную дробь на простейшие дроби.

Если Mathcad не может выполнить требуемую операцию, то он выводит в качестве результата вычислений исходное выражение. Все приведенные вычисления выполнены в предположении, что в меню Math установлен автоматический режим вычислений и отключен режим оптимизации. Следует помнить, что Mathcad далеко не всегда преобразует выражение к самому простейшему виду.

Указание. Установите режим отображения результатов вычислений по горизонтали. Для этого щелкните по строке Evaluation Style в меню Symbolic и установите соответствующие метки в окне диалога. Для того чтобы ввести выражение, щелкните левой клавишей мыши по свободному месту в рабочем документе и введите выражение с клавиатуры. Сначала введите первый сомножитель нажмите на клавиатуре клавиши в следующей последовательности:

Прежде чем вводить знак умножения и второй сомножитель, нажмите несколько раз клавишу <Space> (Пробел); нажимайте пробел до тех пор, пока весь первый сомножитель не будет заключен в выделяющую рамку. Затем введите знак умножения и второй сомножитель нажмите на клавиатуре клавиши в следующей последовательности:*

<Space>. <Space> (выделить второй сомножитель) <+> <1>.

Для того чтобы упростить введенное выражение, используйте меню символьных операций: щелкните справа внизу у последнего символа выражения и выделите его, нажимая клавишу <Space> . Затем щелкните в меню Symbolics по строке Simplify (рис. 31). Результат (преобразованное выражение) будет отображен в рабочем документе справа от исходного выражения.

Рис. 31. Процесс упрощения выражения через меню Symbolics

II. Раскрыть скобки и привести подобные в выражении x(z+1) 2 — 2z(x+z).

Указание. Сначала, как и в предыдущем примере, установите в меню Symbolics — режим отображения результатов вычислений по горизонтали. Затем введите выражение для преобразования, выделите его и щелкните по строке Expand в меню Symbolics (рис.32). Результат (преобразованное выражение) отображается в рабочем документе справа от исходного выражения.

Рис.32. Упрощение выражений с использованием операции Expand.

III. Разложить на множители выражение

а 2 b + ab 2 + 2abc + b 2 c+ +a 2 c+ ас 2 + bc 2 .

Указание. Введите выражение для преобразования, выделите его и щелкните по строке Factor в меню Symbolics. Результат отображается в рабочем документе справа от исходного выражения. При вводе выражения не забывайте вводить знак умножения (<*>), а после ввода показателя степени (<^>) нажимать клавишу <Space>.

Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями.

IV. Разложить на простейшие дроби рациональную дробь

Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями.

Указание. Введите описанным выше способом выражение для преобразова-ний, выделите переменную х и щелкните по строке Convert to Partial Fraction в пункте Variable меню Symbolics.

V. Построить таблицу значений функции

f(x) = xsin на отрезке [0, 4p 2 ].

Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями.

* Запись <Space>. <Space> означает, что пробел нужно нажимать до тех пор, пока соответствующее выражение не будет заключено в выделяющую угловую рамку.

Указание. Определите функцию f(x) = xsin .Для этого введите с клавиатуры имя функции и имя аргумента, заключенное в круглые скобки, знак присваивания (введите с клавиатуры знак равенства или нажмите на клавиатуре клавиши <Shift>+<:> и следом выражение для функции. Чтобы ввести знак квадратного корня, щелкните в панели калькулятора по кнопке . Подкоренное выражение введите в позиции, указанной меткой. Знак абсолютной величины введите аналогично, щелчком по кнопке . Определите диапазон изменения индекса i узлов сетки хi на заданном отрезке. Для этого введите с клавиатуры: i == 0 ; 20*. Определите узлы сетки хi = , для этого введите с клавиатуры: х [ i <Space> == i * 4 * (<Ctrl>+<p>)^2 <Space.. .Space> /20. Определите матрицу-столбец F для хранения таблицы значений функции в узлах сетки: Fi = f(xi). Для этого введите с клавиатуры: F [ i Space : f ( х [ i <Space> ) . Чтобы вывести таблицу значения функции на экран, введите с клавиатуры: F = . В рабочем документе появится таблица значений функции. Щелкните по полю таблицы в рабочем документе откроется окно для просмотра всей таблицы со стрелками прокрутки.


VI. Построить график функции f(x) =xsin .

Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями и графиком.

Указание. Определите функцию f(x), как в предыдущем примере, щелкните по свободному месту в рабочем документе правее и ниже определения функции f(x), затем щелкните по кнопке декартова графика в панели графиков и введите в позиции, указанной меткой возле оси абсцисс, имя аргумента х, а возле оси ординат имя функции f(x). График будет построен после щелчка по рабочему документу вне поля графиков. Параметры изображения можно изменить, щелкнув дважды по полю графиков и определив параметры (вид отображения осей, толщину и цвет линии, надпись на графике).

VII. Решить графически уравнение f(x) = 0, где f(x) = x 3 +3x 2 -2.

На рисунках 33 и 34 приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими определениями, графиками и окнами диалога.

Указание. Определите функцию f(x) и постройте ее график, действуя, как в предыдущем примере. Для того чтобы найти корни уравнения абсциссы точек пересечения графика функции с осью у = 0, щелкните по строке Trace в пункте Graph меню Format. Затем щелкните по полю графиков и установите (стрелками клавиатуры или мышью) маркер (перекрещивающиеся пунктирные линии) в точке пересечения графика функции с осью абсцисс. В окне диалога отображаются координаты маркера: значение координаты х в окне и есть искомое приближенное значение корня.

Рис. 33. Определение координат на точки

Рис. 34. Окна диалога настройки параметров декартова графика

VIII. Решить символьно уравнение =0.

Символьное решение этого уравнения в Mathcad занимает одну строчку.

Указание. Щелкните по кнопке решения уравнений в панели символьных вычислений . Введите в помеченной позиции слева от ключевого слова solve (решить) выражение для правой части уравнения, а в позиции справа от solve имя переменной, относительно которой нужно решить уравнение, и щелкните по свободному месту в рабочем документе. Результат значение корня уравнения будет отображен в рабочем документе справа от стрелки.

Порядок выполнения работы

Задание. Исследуйте и, если решение существует, найдите по формулам Крамера решение системы

Указание:

1. Установите режим автоматических вычислений и режим отображения результатов вычислений по горизонтали.

2. Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1.

3. Введите матрицу и столбец правых частей.

4. Вычислите определитель матрицы.

5. Вычислите определители матриц, полученных заменой соответствующего столбца столбцом правых частей.

Указание. Для вычисления определителей D1, D2, D3, D4 проще всего скопировать матрицу А в буфер обмена (<Ctrl>+<C> или пункт Copy меню Edit), затем вставить в помеченной позиции матрицу из буфера обмена (<Ctrl>+<V> или пункт Insert меню Edit) и затем заменить элементы соответствующего столбца элементами столбца правых частей.

6.Найдите по формулам Крамера решение системы.

Выполните индивидуальные задания приведенные ниже. Подготовьте отчет по лабораторной работе в виде экранного документа.

Индивидуальные задания к лабораторной работе 3.

Исследуйте и, если решение существует, найдите по формулам Крамера решение системы Ах = B.

1. А = B =

2. A = B =

3. A = B =

4. A = B =

5. A= B =

6. A = B=

7. A = B =

8. A = B =

9. A = B =

10. A = B =

11. A= B =

12. A = B =

13. A = B=

14. A = B =

15. A = B =

16. A = B =

17. A = B =

18. A = B =

Содержание отчета

1. Титульный лист.

2. Решение всех задач с комментариями.

Контрольные вопросы

1. Назовите основные способы решения систем линейных уравнений.

2. Какие операторы позволяют осуществить решение систем нелинейных уравнений?

3. Для чего необходимо выполнять проверку решения уравнений?

4. В чем смысл решения уравнений численными методами ?

5. Назовите порядок построения графика в декартовых системах координат.

6. Назовите порядок построения графика в полярной системе координат.

Литература:

1. Информатика: Базовый курс. Учебник под редакцией С.В.Симановича.

2. Половко А.М., Ганичев И.В. MathCad для студента. – Спб. : БХВ-Петербург, 2006. -336 с. : ил.

3. Ю.Ю.Тарасевич Численные методы на MathCad. – Астраханский гос. Пед. Ун-т: Астрахань,2000.

4. Могилёв, А. В., и др. Информатика: Учеб. Пособие Под. Ред. Хеннера Е. К. М.: Изд. Центр “Академия”,2000. -816с.

5. Ушаков А. Н. , Ушакова Н. Ю. Секреты для инженерных и научных расчетов. – Оренбург: ОГУ, 2001. — №—с.

Лабораторная работа 4

«Символьные вычисления»

Цель работы: Освоить работу с процессом символьных вычислений на примере вычисления интегралов, производных, сумм, пределов. Изучить работу с векторами и матрицами.

Задание:

1. По заданным координатам точек A, B, C, D найти координаты векторов a=AB и b=CD.

2. Вычислить скалярное и векторное произведения найденных векторов.

3. Найти следующие произведения векторов на заданную матрицу M: a*M и M*b.

4. Вычислить определитель матрицы M.

5. Для заданного ряда вычислить i-частичную сумму и исследовать сходимость ряда.

6. Вычислить сумму ряда.

7. Найти первообразную неопределенного интеграла и выполнить проверку, полученного результата.

8. Вычислить значения определенного интеграла.

Пример выполнения задания:

Координаты точек Матрица
A=(-1, 2, 9) B=(7, -2, -4) C=(-1, -5, -1) D=(-3, -1, 4)
Ряд Неопределенный интеграл Пределы интегрирования
(-¥; 0]

1. Для выполнения задания 1 используем известную формулу из курса линейной алгебры, которая гласит, что координаты вектора численно равны разности координат точек конца и начала вектора:

Для этого в MathCAD точки A, B, C и D набираются в следующем виде:

Для чего открываем панель инструментов «Математика» (View\Toolbars\Math) и нажимаем на ней кнопку «Матрицы» ([MMM])

Далее задаем параметр i, меняющийся от 0 до 2 (для чего на панели «Матрица» есть кнопка вида “m..n”).

Примечание. Отметим, что в пакете MathCAD нумерация компонент векторов и элементов матриц начинается с 0:

Для нахождения координат наших векторов используем формулу (1), которая в MathCAD имеет вид:

Для просмотра координат векторов достаточно набрать «a=» и «b=». В данной задаче

Рекомендация: предлагаем читателю самостоятельно вычислить в MathCAD длину полученных векторов.

2. Вычислим скалярное и векторное произведение полученных векторов.

Примечание. Обращаем внимание на то, что вычисление скалярного произведения в MathCAD осуществляется согласно правилу умножения матриц.

В связи с этим вектора следует задавать следующим образом:

Примечание. Верхний индекс Т у вектора а означает операцию транспонирования и является результатом работы кнопки M T на панели «Матрица».

Вычислим скалярное произведение:

Проверим результат, воспользовавшись определением скалярного произведения:

Примечание. Если вектор задан в строчку, то MathCAD воспринимает его не как вектор, а как матрицу с одной строкой и n столбцами. Для набора нижнего индекса можно нажимать на клавиатуре кнопку [.

Для вычисления векторного произведения вектора следует задавать в виде столбцов.

В качестве примера продемонстрируем проверку антикоммутативности векторного произведения

3. Рассмотрим произведение матрицы на вектор. Матрица задается с помощью встроенных функций пользователя, а произведение ее на вектор в MathCAD имеет вид:

Умножение вектора на матрицу осуществляется следующим образом:

4. Вычисление определителя матрицы выполняется с помощью встроенной символьной операции .

5. Частичные суммы рядов вычисляются с помощью определенных символьных операций, представленных на рис. 1.

Результаты вычислений имеют вид:

Примечание. Из курса математического анализа известно, что частичные суммы в теории рядов представляют собой отправную точку в исследовании их сходимости. Средства MathCAD позволяют, используя фундаментальное определение сходимости числового ряда, рассмотреть этот вопрос для различных числовых рядов. Здесь в качестве примера мы рассматриваем заданный выше ряд.

Если предел S(i) при i®¥ существует и конечен, то ряд сходится. Рассмотрим такой предел для нашего ряда.
В среде MathCAD для вычисления пределов используются встроенные символьные операции, представленные на рис. 1. Результаты вычислений выглядят следующим образом:

6. Ряд сходится, следовательно, можно вычислить его сумму:

7. Для вычисления неопределенных интегралов также используются встроенные символьные вычисления (см. рис. 1).

Примечание. Отметим, что в полученном результате отсутствует аддитивная постоянная.

Согласно основному свойству интегралов производная от первообразной должна быть равна подынтегральной функции. Часто это свойство используется в качестве проверки полученных первообразных.

Для вычисления производных снова используем встроенные символьные вычисления (см. рис. 1).

В нашем случае получаем:

8. Для вычисления определенного интеграла, используя символьные операции, получаем

Примечание. Возможности пакета позволяют с помощью указанных символьных операций проводить исследования сходимости несобственных интегралов и изучение поведения разрывных функций на заданном интервале.
В чем предлагаем читателю убедиться самостоятельно, рассмотрев следующие два примера:

Содержание отчета

1. Титульный лист.

2. Решение всех задач с комментариями.

Контрольные вопросы

1. Назовите способы выполнения символьных операций в MathCAD.

2. Что необходимо сделать с выражением перед применением символьных преобразований в командном режиме?

3. Перечислите символьные операции с выделенными выражениями.

4. Перечислите символьные операции с выделенными переменными.

5. Перечислите символьные операции с выделенными матрицами.

6. Перечислите символьные операции преобразования.

7. Какие параметры определяет стиль представления результатов вычислений и где он задается?

8. В каких случаях результат символьных преобразований помещается в буфер обмена?

9. Каким образом можно вычислить предел в MathCAD?

Литература:

1. Информатика: Базовый курс. Учебник под редакцией С.В.Симановича.

2. Половко А.М., Ганичев И.В. MathCad для студента. – Спб. : БХВ-Петербург, 2006. -336 с. : ил.

3. Ю.Ю.Тарасевич Численные методы на MathCad. – Астраханский гос. Пед. Ун-т: Астрахань,2000.

REDMOND

4. Могилёв, А. В., и др. Информатика: Учеб. Пособие Под. Ред. Хеннера Е. К. М.: Изд. Центр “Академия”,2000. -816с.

Вычисление значения выражений и построение графиков функций в MathCAD

MathCAD является математическим редактором, позволяющим проводить разнообразные научные и инженерные расчеты, начиная от элементарной арифметики и заканчивая сложными реализациями численных методов. В него входят несколько интегрированных между собой компонентов:

· мощный текстовый редактор, позволяющий вводить, редактировать и форматировать как текст, так и математические выражения;

· вычислительный процессор, умеющий проводить расчеты по введенным формулам, используя встроенные численные методы;

· символьный процессор, позволяющий проводить аналитические вычисления и являющийся, фактически, системой искусственного интеллекта;

· большое хранилище справочной информации, как математической так и инженерной, оформленной в качестве интерактивной электронной книги.

Окно MathCAD имеет ту же структуру, что и большинство приложений Windows (рис. 6.1). Сверху вниз располагаются: заголовок окна, строка меню, панели инструментов (стандартная и форматирования) и рабочий лист, или рабочая область документа (worksheet). Новый документ создается автоматически при запуске MathCAD. В самой нижней части окна находится строка состояния. Таким образом, интерфейс пользователя MathCAD сходен с другими приложениями Windows, и значения большинства кнопок на панелях инструментов интуитивно понятно.

Помимо элементов управления, характерных для типичного текстового редактора, MathCAD снабжен дополнительными средствами для ввода и редактирования математических символов, одним из которых является панель инструментов Math (Математика) (рис. 6.1). С помощью этой, а также ряда вспомогательных наборных панелей удобно осуществлять ввод уравнений.

Рис. 6.1. Окно приложения MathCAD с пустым документом

Большинство команд можно выполнить как с помощью меню (верхнего или контекстного), так и панелей инструментов или клавиатуры.

Панели инструментов служат для быстрого (в один щелчок мыши) выполнения наиболее часто применяемых команд. Все действия, которые можно выполнить с помощью панелей инструментов, доступны и через верхнее меню. На рис. 2 изображено окно MathCAD с основными панелями инструментов, а также дополнительными математическими (или наборными) панелями, о которых речь пойдет ниже. Перечислим основные панели.

Стандартная (Standard) — служит для выполнения большинства операций, таких как действия с файлами, редакторская правка, вставка объектов и доступ к справочным системам;

Форматирование (Formatting) — для форматирования (изменения типа и размера шрифта, выравнивания и т. п.) текста и формул;

Математика (Math) — для вставки математических символов и операторов в документы.

Группы кнопок на панелях инструментов разграничены по смыслу вертикальными линиями — разделителями. При наведении указателя мыши на любую из кнопок рядом с кнопкой появляется всплывающая подсказка — короткий текст, поясняющий назначение кнопки. Наряду со всплывающей подсказкой более развернутое объяснение готовящейся операции можно отыскать в строке состояния.

Панель Math (Математика) предназначена для вызова на экран еще девяти панелей (рис. 6.2), с помощью которых, собственно, и происходит вставка математических операций в документы. Чтобы вызвать какую-либо из них, нужно нажать соответствующую кнопку на панели Math. Перечислим назначение математических панелей:

· Калькулятор (Calculator) — служит для вставки основных математических операций, получила свое название из-за схожести набора кнопок с кнопками типичного калькулятора;

· График (Graph) — для вставки графиков;

· Матрица (Matrix) — для вставки матриц и матричных операторов;

· Оценка (Evaluation) — для вставки операторов управления вычислениями;

· Исчисление (Calculus) — для вставки операторов интегрирования, дифференцирования, суммирования;

· Логические (Boolean) — для вставки логических (булевых) операторов;

Рис. 6.2 Математические (наборные) панели инструментов

· Программирование (Programming) — для программирования средствами MathCAD;

· Греческие (Greek) — для вставки греческих символов;

· Символика (Symbolic) — для вставки символьных операторов.

При наведении указателя мыши на многие из кнопок математических панелей появляется всплывающая подсказка, содержащая еще и сочетание горячих клавиш, нажатие которых приведет к эквивалентному действию. Ввод действий с клавиатуры часто удобнее нажатия кнопок панелей инструментов, но требует большего опыта.

Вызвать любую панель на экран или скрыть ее можно с помощью пункта Toolbars (Панели инструментов) меню View (Вид), выбирая в открывающемся подменю имя нужной панели.

MathCAD работает с документами. С точки зрения пользователя, документ — это чистый лист бумаги, на котором можно размещать блоки трех основных типов: математические выражения, текстовые фрагменты и графические области. Расположение нетекстовых блоков в документе имеет принципиальное значение – слева направо и сверху вниз.

Ввод информации осуществляется в месте расположения курсора. Программа MathCAD использует три вида курсоров. Если ни один объект не выбран, используется крестообразный курсор , определяющий место создания следующего объекта. При вводе формул используется уголковый курсор , указывающий текущий элемент выражения. При вводе данных в текстовый блок применяется текстовый курсор в виде вертикальной черты, например, .

Математические выражения.

К основным элементам математических выражений MathCAD относятся: типы данных, операторы, функции и управляющие структуры.

Операторы — элементы MathCAD, с помощью которых можно создавать математические выражения. К ним, например, относятся символы арифметических операций, знаки вычисления сумм, произведений, производной и интеграла и т.д.

· действие, которое должно выполняться при наличии тех или иных значений операндов;

· сколько, где и какие операнды должны быть введены в оператор.

Операнд – число или выражение, на которое действует оператор. Например, в выражении 5! + 3 число 3и выражение 5!– операнды оператора + (плюс), а число 5 операнд оператора факториал (!). После указания операндов операторы становятся исполняемыми по документу блоками.

К типам данных относятся: числовые константы, обычные и системные переменные, массивы (векторы и матрицы) и данные файлового типа.

Константами называют поименованные объекты, хранящие некоторые значения, которые не могут быть изменены. Переменные являются поименованными объектами, имеющими некоторое значение, которое может изменяться по ходу выполнения программы. Тип переменной определяется ее значением; переменные могут быть числовыми, строковыми, символьными и т. д. Имена констант, переменных и иных объектов называют идентификаторами. Идентификаторы в MathCAD представляют собой набор латинских или греческих букв и цифр.

В MathCAD содержится небольшая группа особых объектов, которые нельзя отнести ни к классу констант, ни к классу переменных, значения которых определены сразу после запуска программы. Их правильнее считать системными переменными, имеющими предопределенные системой начальные значения. Изменение значений системных переменных производят во вкладке Встроенные переменные диалогового окна Math Options команды МатематикаÞ Опции.

Обычные переменные отличаются от системных тем, что они должны быть предварительно определены пользователем, т.е. им необходимо хотя бы однажды присвоить значение. В качестве оператора присваивания используется знак :=, тогда как знак = отведен для вывода значения константы или переменной.

Если переменной присваивается начальное значение с помощью оператора :=, вызывается нажатием клавиши :(двоеточие) на клавиатуре, такое присваивание называется локальным. До этого присваивания переменная не определена и ее использовать нельзя. Однако с помощью знака º (клавиша

на клавиатуре) можно обеспечить глобальное присваивание (см. пример 1 на рис. 6.3).

MathCAD прочитывает весь документ дважды слева направо и сверху вниз. При первом проходе выполняются все действия, предписанные глобальным оператором присваивания (º), а при втором – производятся действия, предписанные локальным оператором присваивания (:=), и отображаются все необходимые результаты вычислений (=).

Существуют также жирный знак равенства = (комбинация клавиш Ctrl +=), который используется, например, как оператор приближенного равенства при решении систем уравнений, и символьный знак равенства ® (комбинация клавиш Ctrl + .).

Рис. 6.3. Математические выражения

Продемонстрируем, как можно быстро начать работу с MathCAD, научиться вводить математические выражения и получать результаты расчетов.

Для того, чтобы выполнить простые расчеты по формулам, необходимо проделать следующее:

1. Определить место в документе, где должно появиться выражение, щелкнув мышью в соответствующей точке документа.

2. Ввести левую часть выражения.

3. Ввести знак численного равенства = (клавишей <=>) или символьного равенства ® (сочетанием клавиш <Ctrl>+<>). В первом случае будет рассчитано численное значение выражения, а во втором (если это возможно) — аналитическое. После того, как будет нажата клавиша со знаком равенства = (или введен знак символьных вычислений ®), с правой стороны выражения появится результат (рис. 6.3).

Описанным выше способом можно проводить более сложные и громоздкие вычисления, пользуясь при этом всем арсеналом функций, которые заложены разработчиками в систему MathCAD и называются поэтому встроенными функциями (в отличие от пользовательских функций, конструируемых непосредственно при разработке MathCAD-программы). Легче всего вводить имена встроенных функций с клавиатуры, как в примере с вычислением синуса (рис. 6.3), но, чтобы избежать возможных ошибок в их написании, лучше выбрать другой путь (тем более что многие из них весьма сложны и имеют несколько аргументов, так что сложно запомнить имена и параметры всех функций наизусть).

Чтобы ввести встроенную функцию в выражение:

· Определите место в выражении, куда следует вставить функцию.

· Нажмите кнопку с надписью f(x) на стандартной панели инструментов

· В списке Категория функции (Function Category) появившегося диалогового окна Вставить функцию (Insert Function) (рис. 6.4) выберите категорию, к которой принадлежит функция, — например, категорию Trigonometric (Тригонометрические).

· В списке Имя функции (Function Name) выберите имя встроенной функции, под которым она фигурирует в MathCAD: например — арккосинуса (acos). В случае затруднения с выбором ориентируйтесь на подсказку, появляющуюся при выборе функции в нижнем текстовом поле диалогового окна Вставить функцию.

· Нажмите кнопку ОК — функция появится в документе.

· Введите недостающие аргументы введенной функции (например, число 0) в местозаполнителе, обозначаемом черным прямоугольником).

Рис. 6.4. Вставка встроенной функции арккосинус — acos

Результатом будет введение выражения, для получения значения которого осталось лишь ввести знак (численного или символьного) вывода.

О способах символьных вычислений. Символьные вычисления в MathCAD можно осуществлять в двух различных вариантах:

· с помощью команд меню;

· с помощью оператора символьного вывода ®, ключевых слов символьного процессора и обычных формул (в справочной системе MathCAD способ называется символьными вычислениями в реальном времени — symbolic evaluation).

Первый способ более удобен, когда требуется быстро получить какой-либо аналитический результат для однократного использования, не сохраняя ход вычислений. Второй способ более нагляден, т. к. позволяет записать выражения в традиционной математической форме и сохранять символьные вычисления в документах MathCAD. Кроме того, аналитические преобразования, проводимые через меню, касаются только одного, выделенного в данный момент, выражения.

Символьный процессор MathCAD умеет выполнять основные алгебраические преобразования, такие, как упрощение выражений, разложение их на множители, символьное суммирование и перемножение.

Для символьных вычислений при помощи команд предназначено главное меню Symbolics(Символика), объединяющее математические операции, которые MathCAD умеет выполнять аналитически. Для реализации второго способа применяются все средства MathCAD, пригодные для численных вычислений (например, панели Calculator,Evaluationи т. д.), и специальная математическая панель инструментов, которую можно вызвать на экран нажатием кнопки Symbolic Keyword Toolbar(Панель символики) на панели Math (Математика). На панели Symbolic(Символика) находятся кнопки, соответствующие специфическим командам символьных преобразований (рис. 6.5).

Рис. 6.5. Панель Символика(Symbolic)

Разложение выражений производится путем выбора команды Symbolics / Expand(Разложить) либо использованием вместе с оператором символьного вывода ключевого слова expand.

Упрощение выражений.Чтобы упростить выражение с помощью меню:

· Выделите выражение целиком.

· Выберите команду Symbolics /Simplify (Символика /Упростить).

Для упрощения выражения при помощи оператора символьного вывода используется ключевое слово simplify.

Разложение на множителипроизводится при помощи команды Symbolics /Factor(Символика / Разложить на множители) либо использованием вместе с оператором символьного вывода ключевого слова factor.

Вычисление коэффициентов полинома. Если выражение является полиномом некоторой переменной x, заданным не в обычном виде , а как произведение более простых полиномов, то коэффициенты легко определяются символьным процессором MathCAD при помощи команды Symbolics / Polynomial Coefficients (Символика / Коэффициенты полинома) или использования ключевого слова parfrac. В результате будет вектор, первый член которого — свободный член , второй — и т.д.

Разложение на простые дроби. Чтобы разложить дробь на более простые дроби следует выполнить либо команду Symbolics / Variable / Convert to Partial Fractions (Символика / Переменная / Разложить на элементарные дроби), либо указать ключевое слово parfrac.

Примеры указанных выше алгебраических преобразований (листинг MathCAD-программы) представлены на рис. 6.6.

Рис. 6.6. Алгебраические преобразования в MathCAD

Графические области делятся на три основных типа — двумерные графики, трехмерные графики и импортированные графические образы.

В MathCAD встроено несколько различных типов графиков, которые можно разбить на две большие группы:

Двумерные графики:

• X-Y (декартовый) график (X-Y Plot);

• полярный график (Polar Plot).

Трехмерные графики:

• график трехмерной поверхности (Surface Plot);

• график линий уровня (Contour Plot);

• трехмерная гистограмма (3D Bar Plot);

Для создания декартовогографика:

1. Запишите функцию, график которой требуется построить.

2. Установите визир в пустом месте рабочего документа.

3. Выберите команду Вставка Þ График Þ Х-У график, или нажмите комбинацию клавиш Shift + @,или щелкните кнопку панели Графики. Появится шаблон декартового графика.

4. Введите в средней метке под осью Х первую независимую переменную, через запятую – вторую и так до 10, например х1, х2, …

5. Введите в средней метке слева от вертикальной оси Y первую независимую переменную, через запятую – вторую и т. д., например у1(х1), у2(х2), …, или соответствующие выражения.

6. Щелкните за пределами области графика, чтобы начать его построение (рис. 6.7).

Рис. 6.7. Построение графика функции

Построение пересекающихся фигур. Особый интерес представляет собой возможность построения на одном графике ряда разных фигур или поверхностей с автоматическим учетом их взаимного пересечения. Для этого надо раздельно задать матрицы соответствующих поверхностей и после вывода шаблона 3D-графика перечислить эти матрицы под ним с использованием в качестве разделителя запятой (рис. 6.8).

Рис. 6.8. Построение двух пересекающихся поверхностей и одновременно контурного графика одной из них

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).

Научная электронная библиотека

Рассмотрим некоторые стандартные функции системы MathCAD. Введем специальные обозначения для аргументов функций. Пусть первый символ имени аргумента обозначает его тип:

M – квадратная матрица;

V – вектор (матрица из одного столбца);

A – произвольная матрица;

S – симметричная матрица;

G – произвольная матрица или число;

X – вектор или число;

Z – комплексная матрица или число;

z – комплексное число;

прочие символы – скалярные величины.

Экспоненциальные и логарифмические функции

exp(X) – экспонента от X;

ln(X) – натуральный логарифм от X;

log(X) – десятичный логарифм от X;

log(X,b) – логарифм от X по основанию b.

Гиперболические и тригонометрические (прямые и обратные) функции

sin(X), cos(X), tan(X), cot(X), sec(X), csc(X) – соответственно синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс от X, причем аргументы указываются в радианах;

sinh(X), cosh(X), tanh(X), coth(X), sech(X), csch(X) – аналогичные гиперболические функции;

asin(z), acos(z), atan(z), acot(z), asec(z), acsc(z) – соответственно арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, арксеканс, арккосеканс от z.

Функции для работы с комплексными числами

Re(Z), Im(Z) – соответственно вещественная и мнимая части комплексного числа Z;

arg(z) – аргумент комплексного числа z (в радианах).

length(V) – возвращает число элементов вектора V;

cols(A) – возвращает число столбцов матрицы A;

rows(A) – возвращает число строк матрицы A;

matrix(m, n, f) – матрица размером mxn, значения элементов матрицы определяются f – функцией f (i, j) от двух переменных (номера строки и номера столбца). Эта функция должна быть предварительно определена пользователем;

identity(n) – единичная матрица n×n;

tr(M) – след матрицы M (сумма элементов главной диагонали);

rank(A) – ранг матрицы M;

norme(M) – эвклидова норма матрицы M, то есть корень квадратный из суммы квадратов всех элементов;

eigenvals(M) – вектор, элементы которого являются собственными числами матрицы M;

eigenvecs(M) – матрица, состоящая из нормализованных собственных векторов матрицы M;

cholesky(S) – возвращает нижнетреугольную матрицу L – результат разложения Холецкого вида L&#8729;LT = S;

lu(M) – возвращает матрицу размера n×3n, состоящую из трех соединенных матриц P, L, U, являющихся результатом LU-разложения вида P&#8729;M = L&#8729;U.

Пример вычислений с матричными функциями: нахождение собственного числа путем решения матричного уравнения det(M – λE) = 0 и с помощью функции eigenvals.

Элементы статистического анализа данных

gmean(G1,G2,G3…) – среднее геометрическое аргументов;

mean(G1,G2,G3…) – среднее арифметическое аргументов;

stdev(G1,G2,G3…) – среднеквадратичное отклонение.

fft(V1), ifft(V2) – прямое и обратное быстрые преобразования Фурье над вещественными данными. V1 – вектор из 2m элементов, V2 – вектор из 1 + 2m–1 элементов, m > 2;

cfft(A), icfft(A) – прямое и обратное преобразования Фурье над вещественными и комплексными векторами и матрицами;

wave(V), iwave(V) – прямое и обратное вейвлет-преобразования, V – вектор из 2m элементов, m – целое число.

Аппроксимация, интерполяция и экстраполяция

Аппроксимация – поиск функции, которая с заданной степенью точности описывает исходные данные.

Интерполяция – определение наиболее правдоподобных промежуточных значений в интервале между известными значениями (подбор гладкой кривой, проходящей через заданные точки или максимально близко к ним).

Экстраполяция – определение наиболее правдоподобных последующих значений на основании анализа предыдущих значений (предсказание дальнейшего поведения неизвестной функции).

Применяются следующие функции MathCAD:

regress(VX,VY,k) – возвращает вектор данных, используемый для поиска интерполирующего полинома (a0 + a1x + a2x2 + . + akxk) порядка k. Полином должен описывать данные, состоящие из упорядоченных значений аргумента (VX) и соответствующих значений неизвестной функции (VY), то есть график полинома должен проходить через все точки, заданные координатами (VX, VY), или максимально близко к этим точкам;

interp(VS,VX,VY,x) – возвращает интерполированное значение неизвестной функции при значении аргумента x. VS – вектор значений, который вернула функция regress. VX,VY – те же данные, что и для regress. Функции interp и regress используются в паре;

predict(V,m,n) – возвращает вектор из n предсказанных значений на основании анализа m предыдущих значений из вектора V. Предполагается, что значения функции в векторе V были получены при значениях аргумента, взятых последовательно, с одинаковым шагом. Используется алгоритм линейной предикции. Наиболее целесообразно использовать predict для предсказания значений по данным, в которых отмечены колебания.

Для интерполяции система MathCAD использует подход, основанный на применении метода наименьших квадратов.

Примеры интерполяции и экстраполяции:

1.5.1. Пусть заданы координаты пяти точек (1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 2), (5; 3), представляющих результаты измерения значений некоторой неизвестной функции при различных значениях x. Необходимо подобрать интерполирующую функцию (гладкую кривую), проходящую через заданные точки.

1.5.2. Дана функция y(i) = e–i/10&#8729;sin (i). Известны значения данной функции при i = 0, 1, …, 10. Основываясь на десяти последних значениях, необходимо предсказать последующие десять значений.

Решения показаны на рис. 19.

Рис. 19. Решения в MathCAD первой (а) и второй (б) задач

Нахождение корней полинома

polyroots(V) – возвращает вектор, содержащий все корни полинома a0 + a1x + a2x2 + . + akxk, заданного вектором-столбцом коэффициентов

max(G1,G2,…) – максимальное значение среди аргументов;

min(G1,G2,…) – минимальное значение среди аргументов;

if(a,b,c) – возвращает b, если a ≠ 0, иначе возвращает c;

sign(a) – возвращает –1, 0 или 1 в зависимости от знака числа a.

REDMOND

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *