Как проводить вычисления с матрицами в mathcad

REDMOND

Матричные вычисления в MathCAD

Понятие же "физического вакуума" в релятивистской квантовой теории поля подразумевает, что во-первых, он не имеет физической природы, в нем лишь виртуальные частицы у которых нет физической системы отсчета, это "фантомы", во-вторых, "физический вакуум" — это наинизшее состояние поля, "нуль-точка", что противоречит реальным фактам, так как, на самом деле, вся энергия материи содержится в эфире и нет иной энергии и иного носителя полей и вещества кроме самого эфира.

В отличие от лукавого понятия "физический вакуум", как бы совместимого с релятивизмом, понятие "эфир" подразумевает наличие базового уровня всей физической материи, имеющего как собственную систему отсчета (обнаруживаемую экспериментально, например, через фоновое космичекое излучение, — тепловое излучение самого эфира), так и являющимся носителем 100% энергии вселенной, а не "нуль-точкой" или "остаточными", "нулевыми колебаниями пространства". Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

Глава7операции с векторами и матрицами, матричные функции в математическом пакете mathcad

Матричное исчисление играет важную роль в компьютерной математике. Практически все численные методы на том или ином этапе работы своего алгоритма сводятся к решению систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), которое часто производится матричными методами. Вообще говоря, нельзя назвать ни одной области использования компьютера, в алгоритмах которой (в большей или меньшей степени) не использовались бы матрицы.

Понятие «вектор» обычно не отделяют от понятия «матриц». Векторы могут рассматриваться как матрицы, состоящие из одного столбца (или строки).

Матричные вычисления в MathCAD можно условно разделить на три основных типа.

К первому относятся такие элементарные действия над матрицами, как создание, извлечение из них данных, их умножение, сложение или скалярное произведение (в случае векторов). Для их реализации служат специальные операторы трех панелей семейства Math (Математические): Calculator (Калькулятор), Matrix (Матричные) и Symbolics (Символьные).

Ко второму типу можно отнести те матричные преобразования, которые требуют использования специальных функций и встроенных алгоритмов матричной алгебры, таких как, например, функции вычисления определителя, матричных норм или сортировки элементов векторов по возрастанию. Функции этой группы можно найти в категории Vector and Matrix (Векторные и матричные) у мастера функций.

И, наконец, к третьему типу матричных вычислений следует отнести те задачи, решить которые можно только используя возможности системы программирования MathCAD.

В языках программирования начальные индексы массивов обычно равняются 0. По умолчанию в MathCAD индексы строк и столбцов также отсчитываются с 0. В том случае, если такая система вам неудобна или непривычна, можно изменить точку отсчета индексов на 1, задав системную переменную ORIGIN: ORIGIN:= 1.

Доступ к элементам вектора или матрицы осуществляется с помощью индексированных переменных. Например, чтобы использовать пятый элемент вектора с именем А, нужно записать этот элемент в виде: . А для того, чтобы взять элемент матрицы В, расположенный на пересечении 3-ей строчки и 4-го столбца нужно записать: .

Для задания индексов на панели Matrix предусмотрена специальная кнопка Subscript (Индекс). Перейти к записи индекса можно также с помощью клавиши «[» ( левая квадратная скобка). Нажав ее, вы увидите, что на месте будущего индекса, чуть ниже текста имени матрицы, появится черный маркер. В него через запятую следует ввести значения индексов. На первом месте при этом должен стоять номер строки, а на втором – столбца.

7.1. Создание векторов и матриц

В системе предусмотрены различные возможности задания векторов и матриц:

Определение матрицы последовательным заданием каждого элемента.

С помощью индексированных переменных.

С помощью использования команды Insert→Matrix, либо с помощью соответствующей кнопки панели Matrix.

Задание с помощью элементов программирования.

Применение встроенных функций.

Через связь с другим приложением, например Excel.

Создание таблицы данных.

Чтение из внешнего файла.

Рассмотрим некоторые из них. Определение матрицы последовательным заданием каждого элемента очевидно и не требует пояснений. При создании матрицы или вектора с помощью индексированной переменной следует исходить из того, что любая индексированная переменная, индексами которой являются переменные, принимающие целочисленные значения из некоторого промежутка, уже представляют собой вектор или матрицу.

Пример 1. Требуется сформировать вектор x, состоящий из 6 элементов. Элементам этого вектора присвоить значения индексов.

Решение. Предоставим два варианта решения этой задачи:

с помощью индексированной переменной;

с помощью команды Insert→Matrix.

Для того, чтобы сформировать вектор, воспользуемся вспомогательной переменной, которая будет играть роль индекса (например, i), а затем будем использовать эту переменную для здания элементных значений вектора x. Формирование вектора представлено на рис. 7.1.

Рис. 7.1. Формирование вектора с использованием индексированной переменной

Формирование вектора х будем производить с помощью команды Matrix. Для этого сначала напишем оператор присваивания: «х:=» , а затем выполним команду Matrix. Эта команда открывает диалоговое окно«Insert Matrix», которое представлено на рис. 7.2, в котором необходимо указать число строк и число столбцов. В нашем примере число строк равно 6, а число столбцов равно 1.

После нажатия кнопки «Ok» команда предоставит шаблон с шестью ячейками, в которые следует вписать значения элементов вектора.

Рис. 7.2. Вызов диалогового окна «Insert Matrix» для создания матрицы с помощью команды «Matrix»

Пример 2. В файле с именем «int(4_4).txt» записаны числа в виде матрицы четыре строчки по четыре элемента, разделенными пробелами. В файле с именем «int(4_1).txt» записаны числа в столбик. Требуется прочитать эти данные в матрицу Q и вектор P.

Решение. Для чтения данных из файла в матрицу/вектор можно воспользоваться функцией READPRN, которая имеет один параметр — имя файла. Фрагмент с решением представлен на рис. 7.3.

Рис. 7.3. Чтение данных из файлов

С матрицами могут производиться как численные, так и символьные вычисления. Операции с матрицами в системе MathCAD обозначаются так, как это принято в математике: , +, *, … .

На рис. 7.4 показано назначение некоторых специализированных команд, расположенных на панели инструментов Matrix.

Помимо этого, система MathCAD представляет большое количество функций для работы с векторами и матрицами. Воспользоваться этими функциями можно с помощью мастера функций f(x).

Х -1 – получить обратную матрицу

|X| – вычислить детерминант

М Т – транспонировать

М < > – из матрицы взять вектор-столбец

v – получить сумму элементов

–скалярное произведение векторов

–векторное произведение векторов

Рис. 7.4. Назначение некоторых команд, расположенных на панели инструментов «Matrix»

На рис. 7.5 представлены вычисления с использованием операций над матрицами.

Рис. 7.5. Примеры матричных вычислений в MathCAD

Пример 3. Требуется сформировать диагональную квадратную матрицу с(6×6). Значения элементов главной диагонали должны совпадать с номером строки/столбца.

Решение. Для получения диагональной матрицы в системе предусмотрена функция diag, которая имеет один параметр – вектор диагональных элементов. Поэтому формирование матрицы начнем с создания вспомогательного вектора, в который занесем элементы для диагонали. Для формирования этого вспомогательного вектора (например, с именем s), воспользуемся вспомогательной переменной, которая будет играть роль индекса (например, i). Тогда формирование диагональной матрицы может быть получено в результате операций, как это показано на рис. 7.6.

Рис. 7.6. Формирование диагональной матрицы

REDMOND

Пример 4. Даны две матрицы: А(4×3) и В(4×2). Требуется объединить эти матрицы в одну матрицу С(4×5), причем, первыми столбцами новой матрицы должны быть столбцы матрицы А, а справа от этих элементов следовать столбцы матрицы В (методом «дописывания справа»).

Решение. Для соединения двух матриц в одну матрицу можно использовать функцию augment, параметрами которой будут являться имена соединяемых матриц, как это показано на рис. 7.7.

Рис. 7.7. Объединения двух матриц по правилу «дописывания справа»

Пример 5. Даны две матрицы: А(2×3) и В(3×3). Требуется объединить эти матрицы в одну матрицу С(5×3), причем, в новой матрицы в качестве первых строк должны быть строки матрицы А, а за ними должны следовать строки матрицы В.

Решение. Для соединения двух матриц в одну матрицу по правилу «друг под другом» можно использовать функцию stack, параметрами которой будут являться имена соединяемых матриц, как это показано на рис. 7.8.

Рис. 7.8. Объединения двух матриц по правилу «друг под другом»

Пример 6. Дана матрица А(6×6). Требуется получить из этой матрицу подматрицу, в которую включить элементы, расположенные в строках, начиная с номера 2-го по номер 4-ый, и столбцах, начиная с номера 0-го по номер 5-ый.

Решение. Для выделения подматрицы с номерами столбцов и строк представленными граничными значениями предусмотрена функция submatrix. Эта функция имеет 5 параметров: имя матрицы, из которой производится выбор; начальный номер строки выбора; конечный номер строки выбора; начальный номер столбца выбора; конечный номер столбца выбора. Возможное решение представлено на рис. 7.9.

Рис. 7.9. Выделение подматрицы из заданной матрицы

Пример 7. Дана матрица А(6×6). Требуется получить из этой матрицу два вектора. Первый вектор должен совпадать с 4–ым столбцом матрицы А, а второй – с 3-ей строкой матрицы А.

Решение. Для получения векторных значений можно воспользоваться командой М < > (из матрицы взять вектор-столбец), которая расположена на панели «Мatrix». Для получения первого вектора эту команду нужно применить непосредственно к матрице А, а для получения второго вектора нужно сначала получить из матрицы А транспонированную матрицу, а только потом воспользоваться командой «взять столбец». Возможное решение представлено на рис. 7.10.

Рис. 7.10. Выделение векторных значений из заданной матрицы

Пример 8. Из матрицы А(6×6) выделить минор, который образуется в результате вычеркивания из этой матрицы нулевой строчки и третьего столбца.

Решение. Решение задачи можно свести к соединению двух подматриц, выделенных из матрицы А, как это показано на рис. 7.11.

Open Library — открытая библиотека учебной информации

Открытая библиотека для школьников и студентов. Лекции, конспекты и учебные материалы по всем научным направлениям.

Категории

Математика Матричные операции в Mathcad

Большинство вычислений с матрицами, как и другие вычисления в Mathcad, можно выполнить тремя способами: с помощью панелœей инструментов, выбором операции в меню или обращением к соответствующей функции.

Панель операций с матрицами и векторами в Matrix открывается щелчком по кнопке в панели математических инструментов. За кнопками панели закреплены следующие функции:

– Задание размеров матрицы;

– ввод нижнего индекса;

– вычисление обратной матрицы;

– вычисление определителя матрицы: ;

– выделœение столбца матрицы: М < j > – j-й столбец матрицы;

– транспонирование матрицы: М=<mij>, M T =<mji>,

– вычисление скалярного произведения векторов: ;

– вычисление векторного произведения двух векторов: a´b=(a2b2a3b2a2b1a1b2a2b1);

– вычисление суммы компонент вектора: ;

Для того, чтобы выполнить какую-либо операцию с помощью панели инструментов, нужно выделить матрицу и щелкнуть в панели по кнопке операции либо щелкнуть по кнопке в панели и ввести в помеченной позиции для матрицы.

Функции определœения матриц и операции с блоками матриц:

diag(v) – создает диагональную матрицу, элементы главной диагонали которой хранятся в векторе v;

identity(n) – создает единичную матрицу порядка n;

augment (A, B) – формирует матрицу, в первых столбцах которой содержится матрица А, а в последних – матрица В (матрицы А и В должны иметь одинаковое число строк);

staсk (А, В) – формирует матрицу, в первых строках которой содержится матрица А, а в последних – матрица В (матрицы А и В должны иметь одинаковое число столбцов);

submatrix (A, ir, jr, ic, jc) – формирует матрицу, которая является блоком матрицы А, расположенным в строках с ir по jr и в столбцах с ic по jc, ir£jr, ic£jc.

Номер первой строки (столбца) матрицы или первой компоненты вектора хранится в Mathcad в переменной ORIGIN. По умолчанию в Mathcad координаты векторов, столбцы и строки матрицы нумеруются, начиная с 0 (ORIGIN=0). Поскольку в математической записи чаще используется нумерация с 1, здесь и в дальнейшем перед началом работы с матрицами будем определять значение переменной ORIGIN равным 1, ᴛ.ᴇ. будем прежде всœего выполнять команду ORIGIN=1.

Функции вычисления числовых характеристик матриц:

last(v) – вычисление индекса последней компоненты вектора v;

legth(v) – вычисление количества компонент вектора v;

rows(A) – вычисление числа строк в матрице А;

cols(A) – вычисление числа столбцов в матрице А;

max(A) – вычисление наибольшего элемента в матрице А;

min(A) – вычисление наименьшего элемента в матрице А;

sort(V) – сортировка элементов вектора V по возрастанию;

reverse (sort(v)) – сортировка элементов вектора V по убыванию;

csort (A,n) – сортировка элементов n – го столбца матрицы А по возрастанию (перестановкой строк);

rsort (A,n) – сортировка элементов n – ой строки матрица А по возрастанию (перестановкой столбцов);

mean(A) – среднее значение элементов матрица А.

Читайте также

MathCAD интерпретирует все значения, начинающееся цифрой, как числа. В MathCAD можно работать со следующими классами чисел: · обычные вещественные (целые)числа; · комплексные числа, для ввода мнимого числа нужно за его модулем ввести символ мнимой единицы i или j;однако, нельзя. [читать подробенее]

Можливі використання умовного оператора IF Умовний оператор if може використовуватися для реалізації досить складних алгоритмів, що розгалужуються, у тілі операторів циклу. Тому розглянемо різне заповнення полю 1 і полю 3 цього оператора. Варіант 1. У полі 1. [читать подробенее]

Для решения дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений n-го порядка в MathCad их необходимо привести к системе n дифференциальных уравнений первого порядка вида с начальными условиями Например, дифференциальное уравнение второго порядка . [читать подробенее]

Сравнение методов решения нелинейных уравнений Метод половинного деления очень прост и имеет одно явное преимущество по сравнению со всеми рассмотренными выше методами – он всегда сходится. Однако, скорость сходимости очень мала, поэтому его часто используют для. [читать подробенее]

Mathcad 2000 предлагает новый способ для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, разрешенных относительно старшей производной. Для этих целей служит уже известный нам блок given совместно с функцией odesolve. Дифференциальное уравнение совместно с начальными или. [читать подробенее]

Пример 6.1.2-3. Определить значащие цифры числа. Значащими цифрами числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева. Значащую цифру числа называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой. [читать подробенее]

Mathcad 2000 представляет ряд дополнительных возможностей для поиска корней уравнений. Функция root(f(var1, var2, . ),var1, [a, b]) имеет теперь два необязательных аргумента a и b, которые определяют границы интервала, на котором следует искать корень. На концах интервала [a,b] функция f должна. [читать подробенее]

Краткий обзор универсального математического процессора Mathсad Для решения задач моделирования процессов и объектов ОМД Стандартные пакеты прикладных программ Загрузка программы производится через основное меню Windows.Отличительной особенностью программы. [читать подробенее]

Программные системы в научных исследованиях, использование пакетов математических и инженерных расчетов Система MathCAD (Mathematical Computer Aided Design) Система MathCAD (Mathematical Computer Aided Design — Математическое проектирование с помощью ЭВМ) является уникальным программным средством ак с. [читать подробенее]

Сучасні версії MathCad являються типовими Windows-програмами, тому організація роботи з ними не викликає труднощів у користувача, який знайомий з будь-якою іншою Windows-програмою, наприклад, з текстовим редактором Word. Для запуска MathCad 14 досить подвійного клацання мишки на ярличку. [читать подробенее]

REDMOND

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *