Как построить график в maple

REDMOND

Двумерная графика системы Maple

· уметь применять указанные команды для отображения результатов вычислений в виде графических образов.

Команда plot () – многофункциональная команда двумерной графики. Расположена она в системной библиотеке Maple, и поэтому доступна в любое время. Данная команда позволяет строить график одной или нескольких функций одной вещественной переменной, заданных в явном или параметрическом виде, а также отобразить множество точек в декартовой или полярной системе координат. Синтаксис команды: plot (f, h, v, опции);

Здесь f – функция, график которой необходимо отобразить, h – диапазон изменения независимой переменной по горизонтальной оси графика, v – диапазон изменения значения функции вдоль вертикальной оси графика.

Диапазон изменения независимой переменной h задается в виде x = а..b, где а и b – наименьшее и наибольшее значения изменения переменной, а х – имя независимой переменной. Если диапазон не задан (т.е., второй параметр представляет собой просто имя независимой переменной в функции), то по умолчанию принимается интервал ее изменения –10..10. Этот параметр (с диапазоном или нет) обязательно должен присутствовать при задании графика командой plot().

Вертикальный диапазон v ограничивает вывод графика определенной областью изменения функции. Он необязателен, как и опции, задающиеся в виде уравнений имя_опции=значение. При отсутствии явного задания опций принимаются их значения по умолчанию.

С помощью опций определяют вид отображаемого графика: толщину, цвет и тип линии графика, тип осей координат, размещение надписей и т.д. Задаются опции в форме уравнений имя_опции = значение. Набор возможных опций во всех командах двумерного графического вывода, за некоторым исключением, одинаков. В табл. 1 представлены все опции двумерной графики и соответствующие им значения (умалчиваемые значения подчеркнуты).

Таблица 1. Опции двумерной графики

Задает цвета кривых, отображаемых на график. В качестве значения этой опции может выступать одно из зарезервированных значений цвета в Maple: aquamarine, black, blue, navy, coral, cyan, brown, gold, green, gray, grey, khaki, magenta, maroon, orange, pink, plum, red, sienna, tan, turquoise, violet, wheat, white и yellow.

Можно определить и собственный цвет, соответствующий смешению заданных частей красного, зеленого и синего цветов. Это делается с помощью следующей команды macro (palegreen=COLOR (RGB.5607.7372.5607)), где palegreen – имя константы нового цвета, в котором красный составляет 0.5607 части, зеленый 0,7372 и синий 0.5607, В дальнейшем это имя можно использовать для задания цвета аналогично именам встроенных цветов.

При выводе как явно заданной функции, так и параметрически заданной функции по умолчанию используется декартовая система координат (cartesian), т.е. задаваемое уравнение кривой рассматривается именно в этой системе координат. Данная опция меняет тип системы координат. Возможные значения: bipolar, cardiod, cassinian, elliptic, hyperbolic, invcassinian, invelliptic, logarithmic, logcosh, maxwell, parabolic, polar, rose и tangent, описание которых можно получить в справочной системе Maple с помощью команды? coords.

Значение по умолчанию false. При установке значения этой опции, равной true, Maple первоначально вызывает команду discont (), которая определяет промежутки непрерывности функции, а затем на них рисуются непрерывные участки графика функции.

Задает шрифт для вывода текста на рисунке. Значение опции задается в виде списка [семейство, стиль, размер]. Параметр семейство задает гарнитуру шрифта: TIMES, COURIER, HELVETICA или SYMBOL. Параметр стиль определяет стиль шрифта: для гарнитуры TIMES возможные значения ROMAN, BOLD, ITALIC или BOLDITALIC, для гарнитуры COURIER и HELVETICA стиль можно опустить или задать BOLD, OBLIQUE или BOLDOBLIQUE, для шрифта SYMBOL стиль не задается. Последний параметр размер задает размер шрифта в пунктах (points) (один пункт приблизительно равен 1/72 дюйма)

Эта опция определяет направление отображения названий осей и задается в виде списка [х, у], элементы которого могут принимать одно из двух значений HORISONTAL или VERTICAL и определяют расположение надписей осей координат: горизонтально или вертикально. Умалчиваемое значение HORIS0NTAL

Определяет тип линии графика. Значение опции – целое число n. При n=0 тип линии соответствует умалчиваемому типу для используемого устройства отображения (обычно сплошная линия), значение 1 соответствует сплошной линии, значение 2‑отображению линии точками, 3 – пунктиром и 4 – штрихпунктиром

Определяет минимальное число вычисляемых точек, по которым строится график (значение по умолчанию равно 50).

Определяет горизонтальное разрешение дисплея в пикселах на дюйм и используется в качестве критерия для завершения адаптивного алгоритма отображения (значение по умолчанию равно 200).

Задает масштаб, в котором отображается график. Если значение опции равно CONSTRAINED, то это соответствует заданию абсолютных значений по осям координат, т.е. одна единица измерения по оси независимой переменной равна одной единице измерения по оси значений функции. Значение по умолчанию равно UNCONSTRAINED, и это соответствует тому, что оси растягиваются таким образом, чтобы их размеры соответствовали размерам графического окна вывода.

Задает отображение графика функции линиями (значение опции равно LINE) или точками (значение опции равно POINT). Значения опции, равные PATCH и PATCHNOGRID, применяются, когда выводится замкнутый многоугольник (графическая структура POLYGONS). В этом случае его внутренняя область закрашивается цветом, установленным в опции color, причем в случае значения PATCHNOGRID его граница не отображается. Если в графическом выводе нет замкнутых многоугольников, то действие этих значений данной опции соответствует значению LINE.

Ниже приводятся примеры работы с командой plot (). Первым примером будет отображение графика функции на интервале [-4,4] изменения независимой переменной х с созданием надписи.

Пример 1. Отображение графика функции с надписью.

title=`Пример вывода\nграфика функции`,

labelfont=[TIMES, ROMAN, 16]);

Для удобства восприятия в примере 1 (и в некоторых других нижеследующих примерах) команды набраны в столбик, каждая отдельно. На практике команды набираются в строку, одна за одной, без пробелов. Для создания многострочной надписи в строке значения опции title использован символ перехода на новую строку (\n).

Команда plot () отображает графики функций не только на конечном интервале изменения независимой переменной, но и на бесконечном:

>plot (3*cos(x)/x, x=0..infinity, – 1.5..1, color=red, numpoints=1000, thickness=1);

Здесь пришлось ограничить область значений функции диапазоном [-1. 5,1], так как при х, стремящемся к нулю, функция стремится к бесконечности, а также задать больше точек на графике функции, иначе в районе надписи infinity не наблюдалась бы гладкость функции, а были бы явные сломы, которые не соответствуют поведению функции.

В явном виде можно представить не всякую функцию. Многие функции задаются в параметрической форме. Отображение графиков таких функций лишь немного отличается от вывода явно задаваемых функций. Отличие заключается в том, что параметрическая кривая задается в виде списка, где первый и второй элементы являются выражениями через параметр, соответственно, горизонтальной и вертикальной координат, а третий элемент списка задает изменение параметра в виде диапазона. Отображение параметрически заданной кривой показано на примере 2.

Пример 2. Отображение графика параметрически заданной функции.

При необходимости вывода нескольких функций на одном графике следует в команде plot () задавать функции в виде множества или списка, а значение опции color в виде списка позволяет задать цвет для вывода графиков функций. Если опция color не задана, то функции отображаются в соответствии со списком цветов по умолчанию.

Пример 3. Отображение графиков нескольких функций.

legend=[«x^3+1.5*sin (x^3)», «20*exp (-1.5*x)*sin(x)»],

labelfont=[TIMES, ITALIC, 12]);

Рекомендуется при выводе нескольких графиков также отображать легенду заданием списка значений опции legend. Легенду можно всегда скрыть или снова отобразить с помощью команды Show Legend меню Legend.

Команда plot () позволяет отображать на графике отдельные точки, которые задаются в виде списка списков, т.е. списка, элементами которого являются списки. Эти двухэлементные списки определяют координаты точек на плоскости. Для вывода точек необходимо задать значение опции style, равной POINT. Если этого не сделать, то Maple отобразит ломаную линию, соединяющую точки в последовательности их задания, не выделяя их специальными символами. В примере 4 точки, заданные своими координатами на плоскости, отображаются с использованием символа круг symbol = CIRCLE.

Пример 4. Отображение точек на плоскости.

title=`Отображение точек\nкомандой plot`,

labelfont=[TIMES, ITALIC, 16]);

2. Меню для работы с двумерной графикой.

После построения графика функции командой plot () или другой командой двумерной графики из пакета plots, его внешний вид можно изменить. Для этого надо переустановить значения некоторых опций с помощью команд основного меню интерфейса пользователя, контекстной панели инструментов или команд контекстного меню, отображаемого нажатием левой кнопки мыши при наведении указателя в область рисунка.

На рис. 1 показан общий вид интерфейса пользователя с меню и контекстной панелью инструментов для работы с графикой. Также на этом же рисунке отображено контекстное меню, появляющееся при щелчке правой кнопкой мыши, когда указатель расположен в области графического вывода. При выделении двумерной графики на рабочем листе меню Insert, Spreadsheet и Options, находящиеся в строке основного меню, заменяются новыми Style, Legend. Axes, Projection, Animation и Export, которые позволяют изменить основные опции построенного графика, а также сохранить его в различных форматах с помощью команд последнего меню. Все команды этих меню дублируются в контекстном меню, в котором дополнительно присутствует команда Сору копирования графики в Буфер обмена, а некоторая их часть в контекстной панели инструментов для двумерной графики. На рис. 1 показаны опции, которым соответствуют кнопки контекстной панели инструментов. Дополнительно к изменению основных меню сокращается список команд меню Format. Так меняется окно интерфейса пользователя при выделении двумерного графика на рабочем листе.

Команды Line (Линия). Point (Точка), Patch (Заливка) и Patch w/o grid (Заливка без сетки) меню Style устанавливают значение опции style, равной, соответственно, line, point, patch или PATCHNOGRID. На контекстной панели инструментов этим командам соответствуют первые четыре кнопки (рис. 1).

Рис. 1. Интерфейс пользователя при выделении графики

Подменю Symbol (Символ), Line Style (Тип линии) и Line Width (Толщина линии) позволяют установить значения опций symbol, linestyle и thickness, а команда Symbol Size отвечает за установку и изменение размеров символов отображения точек при отображении линий точками, т.е. когда установлена опция linestyle=POINT. Кнопок на контекстной панели инструментов для этих опций не предусмотрено.

Команда Show Legend меню Legend добавляет или удаляет легенду из выделенного графика. Она работает как переключатель: если легенда помещена на график, то слева от команды отображается «галочка», если на графике легенда отсутствует, то отсутствует и «галочка». Команда Edit Legend отображает диалоговое окно Legend Labels, в котором можно изменить надписи легенд для кривых, отображаемых на графике. Для этого следует в раскрывающемся списке Curve выбрать необходимую кривую, а в поле Label ввести новое значение надписи.

Команды меню Axes (Оси) позволяют установить значения BOXED, FRAME, NORMAL и NONE опции axes. На контекстной панели инструментов им соответствуют четыре кнопки, показанные на рис. 1.

Меню Projection (Проекция) устанавливает значения опции scaling. На панели инструментов значения этой опции можно устанавливать с помощью последней кнопки. Если она не нажата, то соответствует значению unconstrained, если нажата – установлено значение constrained.

Меню Animation специально предназначено для анимации изображений и становится доступным, когда в документе Maple графика выводится командой создания анимации animate ().

Командами последнего меню Export можно сохранить выделенный на рабочем листе график в одном из следующих форматов: EPS, GIF, JPG, BMP и WMF.

Все перечисленные команды меню можно выполнить из контекстного меню, в котором кроме этих команд присутствует команда Сору (Копировать), копирующая графический рисунок в Буфер обмена операционной системы Windows для вставки его в документ другого приложения или обработки какой-либо графической программой. Отметим, что скопировать график в Буфер обмена можно и командой Сору меню Edit.

1. Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Введение в Maple. Математический пакет для всех. – М.: Мир, 1997. – 208 с.

2. Дьяконов В.П. Математическая система Maple V. – М.: Издательство «Солон», 1998.

3. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. – 176 с.

4. Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. – СПб.:БХВ – Петербург, 2001. – 528 с.

5. Манзон Б.М. Maple V Power Edition – М.: Информационно-издательский дом «Филинъ», 1998 г.

Графика в системе Maple V (стр. 1 из 12)

Лидером по графическим возможностям среди математических систем для персональных компьютеров долгое время считалась система Mathematics 2. Однако в реализации Maple V R4 возможности графики системы Maple V приблизились к таковым у системы Mathematica 2 и даже Mathematica 3. Они настолько обширны, что, будь математическая графика Maple V единственным назначением системы, оно вполне оправдало бы ее разработку.

Графика Maple V реализует все мыслимые (и даже «немыслимые») варианты математических графиков — от построения графиков простых функций в Декартовой и в полярной системах координат до создания реалистических образов сложных пересекающихся в пространстве фигур с их функциональной окраской. Возможны наглядные графические иллюстрации решений самых разнообразных уравнений, включая системы дифференциальных уравнений.

В само ядро Maple V встроено ограниченное число функций графики. Это прежде всего функция для построения двумерных графиков (20-типа) — plot и функция для построения трехмерных графиков (ЗО-типа) — plot3d. Они позволяют строить графики наиболее распространенных типов. Для построения графиков специального типа (например, в виде векторных полей градиентов, решения дифференциальных уравнений, построения фазовых портретов и т.д.) в пакеты расширения системы Maple V включено большое число различных графических функций. Для их вызова необходимы соответствующие указания.

Вообще говоря, средства для построения графиков принято считать графическими процедурами или операторами. Однако мы сохраним за ними наименование функций в силу двух принципиально важных свойств:

• графические средства Maple V возвращают некоторые графические объекты, которые размещаются в окне документа в строке вывода или в отдельном графическом объекте;

• эти объекты можно использовать в качестве значений переменных, т.е. переменным можно присваивать значения графических объектов и выполнять над ними соответствующие операции (например, с помощью функции show выводить на экран несколько графиков).

Графические функции заданы таким образом, что обеспечивают построение типовых графиков без какой-либо особой подготовки. Все, что для этого нужно, это указать функцию, график которой строится, и пределы изменения независимых переменных. Однако с помощью дополнительных необязательных параметров — опций можно существенно изменить вид графиков, например, изменить стиль и цвет линий, вывести титульную надпись, изменить вид координатных осей и т.д.

13.1.2. Основная функция двумерной графики — plot

Для построения двумерных графиков служит функция plot. Она задается в виде:

plot(f, h, v) или plot(f, h, v, о),

где f — функция (или функции), чей (чьи) график(и) строятся, h — переменная с указанием области ее изменения по горизонтали, v — заданная опционально переменная с указанием области изменения по вертикали, о — опция или набор опций, задающих стиль построения графика (толщину и цвет кривых, тип кривых, метки на них и т.д.).

Самыми простыми формами задания этой функции служат:

plot(i,xmin..xmax) — построение графика функции f, заданной только именем;

plot(f(x),x=xrnin..xmax) — построение графика функции f(x).

Диапазон изменения независимой переменной х задается как xmin..xmax, где xmin и гпах — минимальное и максимальное значение х, .. (две точки) — составной символ, указывающий на изменение независимой переменной. Разумеется, имя х здесь дано условно — независимая переменная может иметь любое допустимое имя.

Для двумерной графики возможны следующие опции:

axes Вывод различных типов координат (axes=NORMAL — обычные оси, выводятся по умолчанию, axes=BOXES — график заключается в рамку с оцифрованными осями, axes=FRAME — оси в виде перекрещенных линий и axes=NONE — оси •не выводятся).
color Задает цвет кривых (см. далее).
coords Задание типа координатных систем (см. далее).
numpoints Задает минимальное количество точек графика (по умолчанию numpoints=49).
resolutions Задает горизонтальное разрешение устройства вывода (по умолчанию resolutions-200, параметр используется при отключенном адаптивном методе построения графиков).
scaling Задает масштаб графика CONSTRAINED (сжатый) или UNCONSTRAINED (несжатый — по умолчанию).
size Задает размер шрифта в пунктах.
style Задает стиль построения графика (POINT — точечный, LINE — линиями).
symbol Задает вид символа для точек графика (возможны значения BOX — прямоугольник, CROSS — крест, CIRCLE — окружность, POINT — точка, DIAMOND — ромб).
title Задает построение заголовка графика (title=«string», где string — строка).
titlefont Определяет шрифт для заголовка (так же как и для font).
labelfont Определяет шрифт для меток (labels) на осях координат (так же как и для font).
thickness Определяет толщину линий графиков (0, 1,2,3, по умолчанию 0).
view=[A, B] Определяет максимальные и минимальные координаты, в пределах которых график будет отображаться на экране, А = [xmin..xmax], B=[ymin..углах] (по умолчанию отображается вся кривая).
xtickmarks Задает минимальное число отметок по оси X.
ytickmarks Задает минимальное число отметок по оси Y.

В основном задание параметров особых трудностей не вызывает. За исключением задания титульной надписи с выбором шрифтов по умолчанию — в этом случае не всегда поддерживается вывод символов кириллицы (русского языка). Подбором подходящего шрифта эту проблему удается решить.

13.1.3. Задание координатных систем 20-графиков и их пересчет

В версии Maple V R4 параметр coords задает 15 типов координатных систем для двумерных графиков. По умолчанию задана прямоугольная (Декартовая) система координат (coords=cartesian). При использовании других координатных систем координаты точек для них (u,v) преобразуются в координаты (х,у) как (u, v) -> (x, у). Ниже приведены наименования систем координат (значении параметра coords) и соответствующие формулы преобразования:

Что такое Maple и для чего он предназначен?

1. Вычеслить ,

2. Вычислить: .

> exp(I*Pi/2);

3. Вычислить точное и приближенное значения выражения: .

> arccot(3.0)-arcsin(sqrt(5.0)/5.0);

> arccot(3)-arcsin(sqrt(5)/5);

4. Записать формулы: ; .

> omega(k)=alpha*k^2+beta*k^4; xi=a*exp(-gamma*r)*cos(omega*t+phi);

5. Разложить на множители полином .

> factor(p);

6. Упростить выражение .

> eq:=(sin(3*x))^2-(sin(2*x))^2-sin(5*x)*sin(x):

> eq=combine(eq,trig);

Контрольные вопросы.

Что такое Maple и для чего он предназначен?

Maple – это пакет для аналитических вычислений на компьютере, содержащий более двух тысяч команд, которые позволяют решать задачи алгебры, геометрии, математического анализа, дифференциальных уравнений, статистики, математической физики.

Опишите основные элементы окна Maple.

Maple представляет собой типичное окно Windows, которое состоит из Строки названия, Основного меню, Панели инструментов, Рабочего поля и Строки состояния, а также Линейки и Полос прокрутки.

На какие условные части делится рабочее поле Maple и что в этих частях отображается?

Рабочее поле разделяется на три части:

1) область ввода — состоит из командных строк. Каждая командная строка начинается с символа >;

2) область вывода — содержит результаты обработки введенных команд в виде аналитических выражений, графических объектов или сообщений об ошибке;

3) область текстовых комментариев — содержит любую текстовую информацию, которая может пояснить выполняемые процедуры. Текстовые строки не воспринимаются Maple и никак не обрабатываются.

Как перевести командную строку в текстовую и наоборот?

Для того, чтобы переключить командную строку в текстовую, следует на Панели инструментов нажать мышью на кнопку .

Обратное переключение текстовой строки в командную осуществляется нажатием на Панели инструментов на кнопку

В каком режиме проходит сеанс работы в Maple?

Работа в Maple проходит в режиме сессии – пользователь вводит предложения (команды, выражения, процедуры), которые воспринимаются условно и обрабатываются Maple.

Перечислите пункты основного меню Maple и их назначение.

Основное меню состоит из:

File (Файл) – содержит стандартный набор команд для работы с файлами, например: сохранить файл, открыть файл, создать новый файл и т.д.

Edit (Правка) – содержит стандартный набор команд для редактирования текста, например: копирование, удаление выделенного текста в буфер обмена, отмена команды и т.д.

View (Вид) – содержит стандартный набор команд, управляющих структурой окна Maple.

Insert (Вставка) – служит для вставки полей разных типов: математических текстовых строк, графических двух и трехмерных изображений.

Format (Формат) – содержит команды оформления документа, например: установка типа, размера и стиля шрифта.

Options (Параметры) – служит для установки различных параметров ввода и вывода информации на экран, принтер, например, таких как качество печати.

Windows (Окно) – служит для перехода из одного рабочего листа в другой.

Help (Справка) – содержит подробную справочную информацию о Maple.

Какое стандартное расширение присваивается файлу рабочего листа Maple?

Файлу рабочего листа Maple присваивается расширение .mws.

Как представляются в Maple основные математические константы?

Основные математические константы:

Pi – число ; I – мнимая единица i; infinity – бесконечность; Gamma – константа Эйлера; true, false – логические константы, обозначающие истинность и ложность высказывания.

Опишите виды представления рационального числа в Maple.

Рациональные числа могут быть представлены в 3-х видах:

1) рациональной дроби с использованием оператора деления, например: 28/70;

2) с плавающей запятой (float), например: 2.3;

3) в показательной форме, например: 1,602*10^(-19)

Лабораторная работа №2

Лабораторная работа №3

Построение графиков

Контрольные задания

Построить на отдельных рисунках графики функций Бесселя первого рода Jn(x) для различных ее номеров n в интервале -20<x<20. Функции Бесселя вызываются командой BesselJ(n,x), где n — номер функции Бесселя, x — независимая переменная. Построить первые 6 функций Бесселя для n=0,1,2,3,4,5,6. Как они выглядят и чем отличаются друг от друга? Сделать подписи осей курсивом.

> plot(BesselJ(0,x),x=-20..20,labels=[x,y], labelfont =[TIMES,ITALIC,12]);

> plot(BesselJ(1,x),x=-20..20,labels=[x,y], labelfont =[TIMES,ITALIC,12]);

> plot(BesselJ(2,x),x=-20..20,labels=[x,y], labelfont =[TIMES,ITALIC,12]);

> plot(BesselJ(3,x),x=-20..20,labels=[x,y], labelfont =[TIMES,ITALIC,12]);

> plot(BesselJ(4,x),x=-20..20,labels=[x,y], labelfont =[TIMES,ITALIC,12]);

> plot(BesselJ(5,x),x=-20..20,labels=[x,y], labelfont =[TIMES,ITALIC,12]);

> plot(BesselJ(6,x),x=-20..20,labels=[x,y], labelfont =[TIMES,ITALIC,12]);

Построить график функции в полярных координатах при 0< <4 . Используйте цвет линии под названием magenta, установите толщину линии 3.

>plot(cos(phi/3)^3,phi=0..4*Pi,color= magenta,thickness=3);

Построить на одном рисунке графики функции и ее асимптот и . Установить следующие параметры: цвет основной линии — голубой, асимптот — красный (установлен по умолчанию, поэтому его можно не изменять); толщина основной линии — 3, асимптоты — обычной; масштаб по координатным осям — одинаковый. Сделать надписи: какая функция относится к какой линии. Указание: использовать для преобразования в текст формул команду convert, а для построения графиков и надписей команды textplot и display из пакета plots (см. Задание 1.2, п.2).

> with(plots):p:=plot([x+2*arccot(x), x, x+2*Pi], x=-6..6, color=[blue,red,red],thickness=[3,1,1], scaling=CONSTRAINED):tx1:=convert(x+2*arccot(x),string):t1:=textplot ([5.5,5.5,tx1], font=[TIMES,ITALIC,12], align=RIGHT):t2:=textplot ([1.5,2.5,"x"], font=[TIMES,ITALIC,12], align=RIGHT):tx3:=convert(x+2*Pi,string):t3:=textplot ([3,8.5,tx3], font=[TIMES,ITALIC,12], align=RIGHT):display([p,t1,t2,t3]);

Нарисовать параметрически заданную поверхность (лист Мебиуса): , , , , .

> restart;

> plot3d([((5+u*cos(v/2))*cos(v)), ((5+u*cos(v/2))*sin(v)), (u*sin(v/2))],v=0..2*Pi, u=-1..1);

Задайте изменение координат в интервалах 0<v<2 , -1<u<1, и установите следующие параметры:

grid=[60,10], orientation=[-106,70], axes=FRAMED, tickmarks=[5,8,3].

Также выведите название рисунка, подпишите названия осей и установите одинаковый масштаб по осям.

> restart;

> plot3d([((5+u*cos(v/2))*cos(v)), ((5+u*cos(v/2))*sin(v)), (u*sin(v/2))],v=0..2*Pi, u=-1..1,title="лист Мебиуса",labels=[x,y,z],scaling=CONSTRAINED,grid=[60,10], orientation=[-106,70], axes=FRAMED, tickmarks=[5,8,3]);

Контрольные вопросы

Лабораторная работа №4

Лабораторная работа №5

Математический анализ: интегральное исчисление функции одной и многих переменных. Преобразование Лапласа.

Контрольные задания

1. Вычислить неопределенный интеграл .

> restart;

int((x^3-6)/(x^4+6*x^2+8),x);

Ответ:

2. Вычислить несобственный интеграл при a>0 b>0 для случаев a>b, a=b, a<b.

> restart;

> assume(a>0):assume(b>0):

> additionally(a>b):Int(sin(a*x)*cos(b*x)/x,x=0..+infinity)=int(sin(a*x)*cos(b*x)/x,x=0..+infinity);

Ответ:

> restart;

> assume(a>0):assume(b>0):

> f:=sin(a*x)*cos(b*x)/x:

> additionally(a=b):Int(sin(a*x)*cos(b*x)/x,x=0..+infinity)=int(sin(a*x)*cos(b*x)/x,x=0..+infinity);

Ответ:

> restart;

> assume(a>0):assume(b>0):

> f:=sin(a*x)*cos(b*x)/x:

> additionally(a<b):Int(sin(a*x)*cos(b*x)/x,x=0..+infinity)=int(sin(a*x)*cos(b*x)/x,x=0..+infinity);

Ответ:

3. Численно найти интеграл .

> restart;

> Int(sin(3*x)*exp(-1*x^2)/x^4, x=0.1..0.2)= evalf(int(sin(3*x)*exp(-1*x^2)/x^4, x=0.1..0.2));

Ответ:

4. Полностью проделать все этапы вычисления интеграла по частям

> restart;

> f:=x^3*cos(x);

> with(student):J:=Int(f,x=0..Pi/2);

> J:=intparts(Int(f,x=0..Pi/2),x^3);

> intparts(%,x^2);

> intparts(%,x);

> value(%);

Ответ:

5. Вычислить интеграл с помощью универсальной подстановки tg(x/2)=t.

> restart;

> with(student):

> J=Int(1/(5-4*sin(x)+3*cos(x)), x=0..Pi/2);

> J=changevar(tan(x/2)=t,Int(1/(5-4*sin(x)+3*cos(x)), x=0..Pi/2),t);

> value(%);

Ответ:

6. Вычислить тройной интеграл:

.

> restart: with(student):

> J:=Tripleint(ln(z-x-y)/((x-exp)*(x+y-exp)),x=exp..x+y+exp, y=0..exp-x-1, z=0..exp-1);

> value(%);

Ответ:

7.Найти изображения Лапласа и построить их графики для следующих функций:

а) ; б) .

> restart;

> with(inttrans):

> F(p):=laplace(sin(t)/t,t,p);

Ответ:

> plot(F(p),p);

> restart;

> with(inttrans):

> F(p):=laplace(((1-cos(2*t))*exp(-3*t))/t,t,p);

Ответ:

> plot(F(p),p);

8. Найти оригинал Лапласа функции и построить его график.

> restart;

> with(inttrans):

> combine(%,trig);

Ответ:

> plot(F(x),x);

9.Дана функция , найти ее изображение Лапласа.

> restart;

> f(x):=int((1-cos(x*t))/x^2,x=0..+infinity);

> with(inttrans):

> F(p):=laplace(f(x),t,p);

> plot(F(p),p);

Контрольные вопросы.

1. Что такое команды прямого и отложенного исполнения? Опишите их действия.

Ø Прямого исполненияint(f, x), где f – подынтегральная функция, x – переменная интегрирования – вычисляет интеграл;

Ø Отложенного исполненияInt(f, x) – где параметры команды такие же, как и в команде прямого исполнения int – выдает на экран интеграл в аналитическом виде математической формулы.

2. Какие команды производят аналитическое и численное интегрирование? Опишите их параметры.

REDMOND

int(f, x), где f – подынтегральная функция, x – переменная интегрирования (для вычисления определенного интеграла добавляются пределы интегрирования)

Если в команде интегрирования добавить опцию continuous: int(f, x, continuous), то Maple будет игнорировать любые возможные разрывы подынтегральной функции в диапазоне интегрирования.

Численное интегрирование выполняется командой evalf(int(f, x=x1..x2), e), где e – точность вычислений (число знаков после запятой).

3. С помощью каких команд вводятся ограничения на параметры для вычисления интегралов, зависящих от параметров?

Ограничения на параметры вводятся при помощи команды assume(expr1), где expr1 – неравенство. Дополнительные ограничения вводятся с помощью команды additionally(expr2), где expr2 – другое неравенство, ограничивающее значение параметра с другой стороны.

4. Для чего предназначен пакет student?

Пакет student, предназначенный для обучения математике. Он содержит набор подпрограмм, предназначенных для выполнения расчетов шаг за шагом, так, чтобы была понятна последовательность действий, приводящих к результату.

5. Опишите команду интегрирования по частям.

Если обозначить подынтегральную функцию f=u(x)v’(x), то параметры команды интегрирования по частям такие: intparts(Int(f, x), u),гдеu– именно та функция u(x), производную от которой предстоит вычислить по формуле интегрирования по частям.

Эта команда не вычисляет окончательно интеграл, а лишь производят промежуточную выкладку. Для того, чтобы получить окончательный ответ, следует, после выполнения этой команды ввести команду value(%); где % — обозначают предыдущую строку.

6. Опишите команду интегрирования методом замены переменных.

Если в интеграле требуется сделать замену переменных x=g(t) или t=h(x), то параметры команды замены переменных такие: changevar(h(x)=t, Int(f, x), t),гдеt— новая переменная.

Эта команда, так же как и intparts не вычисляют окончательно интеграл, а лишь производят промежуточную выкладку.

7. Какие команды используются для вычисления двойных и тройных интегралов? Опишите их параметры.

В Maple имеются две специальные команды для вычисления двойных и тройных интегралов, содержащиеся в библиотеке student.

Для вычисления двойных интегралов используется команда Doubleint(f(x, y), D), где D – область интегрирования, записываемая в одном из следующих форматов:

§ x=х1..х2, y=y1..y2, где числа х1, х2, y1, y2задают прямоугольную область интегрирования;

§ x=f1(y)..f2(y), y=y1..y2, гдеf1(y), f2(y) — линии, ограничивающие область интегрирования слева и справа на интервале от y1доy2;

§ x=х1..х2, y=g1(x)..g2(x) , гдеg1(y), g2(y) — линии, ограничивающие область интегрирования снизу и сверху на интервале от х1дох2.

Для вычисления тройных интегралов используется команда Tripleint(f(x, y, z),x, y, z, V), где V – область интегрирования.

Обе эти команды являются командами отложенного действия. Чтобы получить значение интеграла, следует использовать команду value(%).

Лабораторная работа №6

" Дифференциальные уравнения. Ряды"

Контрольные задания

1 .Найти сумму ряда и сумму первых N членов.

> restart;

> Sum(1/(n*(n+1)*(n+2)), n=1..infinity)=sum(1/(n*(n+1)*(n+2)), n=1..infinity);

> s:=limit(rhs(S[N]), N=+infinity);

Ответ:

2.Разложить в степенной ряд f(x)=arcsinx в окрестности x=0 до 9-ого порядка.

> restart;

> f(x)=series((arcsin(x)), x=0, 9);

Ответ:

3.Разложить в ряд Тейлора функцию до 6 – ого прядка в окрестности точки (0, 0).

> restart;

> readlib(mtaylor):

> f=mtaylor(arctan((x-y)/(1+x*y)),[x=0,y=0], 7);

> f = x-y-1/3*x^3+1/3*y^3+1/5*x^5-1/5*y^5;

Ответ:

4.Разложить в ряд Фурье функцию с периодом 4 на интервале [0;4], удерживая 6 членов ряда. Построить на одном рисунке графики функции и ее n-частичной суммы ряда Фурье.

> restart;

> fourierseries:=proc(f,x,x1,x2,n) local k, l,

a, b, s;

> a[0]:=int(f,x=x1..x2)/l;

> a[k]:=int(f*cos(k*Pi*x/l),x=x1..x2)/l;

> b[k]:=int(f*sin(k*Pi*x/l),x=x1..x2)/l;

> s:=a[0]/2+sum(a[k]*cos(k*Pi*x/l)+

b[k]*sin(k*Pi*x/l), k=1..n);

> end;

> f:=piecewise(0<x and x<2 , 6 , 2<=x and x<4, 3*x);

> x1:=0:x2:=4:

> fr:=fourierseries(f,x,x1,x2,6);

> plot(, x=x1..x2, color=[blue,black],thickness=2, linestyle=[3,1]);

5. Найти общее решение дифференциального уравнения:

> restart;

> deq:=diff(y(x),x$2)-2*diff(y(x),x)-3*y(x)=x*exp(4*x)*sin(x);

> dsolve(deq,y(x));

6. Найти фундаментальную систему решений дифференциального уравнения:

> restart;

> de:=diff(y(x),x$3)+diff(y(x),x$2)=1-6*x^2*exp(-x);

> dsolve(de, y(x), output=basis);

Ответ:

7. Найти решение задачи Коши: y² –3y ¢+2y=

> restart;

> de := diff(y(x),`$`(x,2))-3*diff(y(x),x)+2*y(x) = 1/(3+exp(-x));

> cond:=y(0)=1+8*ln(2), D(y)(0)=14*ln(2);

Ответ:

8. Найти решение системы дифференциальных уравнений:

при начальных условиях х(0)=1, х‘(0)=0; у(0)=1.

> restart;

> sys:=diff(x(t),t$2)+5*diff(x(t),t)+2*diff(y(t),t)+y(t)=0,3*diff(x(t),t$2)+5*x(t)+diff(y(t),t)+3*y(t)=0:

> cond:=x(0)=1, D(x)(0)=0, y(0)=1;

Ответ:

9. Найти решение нелинейного уравнения при начальных условиях у(0)=2а, у‘(0)=а в виде разложения в степенной ряд до 6-го порядка.

> restart;

> Order:=6:

Ответ:

10. Построить график численного решения задачи Коши у‘=sin(xy), у(0)=1.

> restart;

> Ordev=6:

> eq:=diff(y(x),x)=sin(x*y(x)):

> cond:=y(0)=1:

> de(0);

> with(plots):

> odeplot(de,[x,y(x)],-10..10,thickness=2);

11. Решить численно задачу Коши: , , . Найти приближенное решение этого уравнения в виде разложения в степенной ряд. Построить на одном рисунке графики полученных решений.

> restart;

> Ordev=6:

> cond:=y(0)=1, D(y)(0)=2:

> de(0.5);

> dsolve(, y(x), series);

> convert(%, polynom):p:=rhs(%):

> with(plots):

> p1:=odeplot(de,[x,y(x)],-2..2, thickness=2,color=black):

> p2:=plot(p,x=-2..2,thickness=2,linestyle=3,color=blue):

> display(p1,p2);

Ответ:

12. Построить график численного решения задачи Коши у»-‘+ =0, у(0)=1, у‘(0)=-4 на интервале [-1.5; 3], используя команду DEplot

> restart;

> with(DEtools):

> DEplot(diff(y(x),x$2)-x*diff(y(x),x)+x*y(x)=0,y(x),x=-1.5..3,[[y(0)=1,D(y)(0)=-4]],stepsize=.1,linecolor=green, thickness=2);

Контрольные вопросы

1. Какая команда позволяет решить дифференциальное уравнение? Опишите ее параметры.

Для нахождения аналитических решений дифференциальных уравнений в Maple применяется команда dsolve(eq,var,options), где eq – дифференциальное уравнение, var – неизвестные функции, options – параметры.

Параметры могут указывать метод решения задачи, например, по умолчанию ищется аналитическое решение: type=exact. При составлении дифференциальных уравнений для обозначения производной применяется команда diff.

2. С помощью каких операторов обозначается производная в дифференциальном уравнении и в начальных условиях?

При составлении дифференциальных уравнений для обозначения производной применяется команда diff.

Для обозначения производных в начальных или краевых условиях используется дифференциальный оператор .

3. Какой параметр команды dsolve следует установить, чтобы получить фундаментальную систему дифференциальных уравнений?

Команда dsolve предоставляет возможность найти фундаментальную систему решений дифференциального уравнения. Для этого в параметрах команды dsolve следует указать output=basis.

4. Какой параметр команды dsolve следует установить, чтобы получить приближенное решение дифференциального уравнения в виде разложения в степенной ряд? Как определяется порядок разложения?

Чтобы найти приближенное решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда, в команде dsolve следует после переменных указать параметр type=series (или просто series). Для того, чтобы указать порядок разложения n, т.е. порядок степени, до которой производить разложение, следует перед командой dsolve вставить определение порядка с помощью команды Order:=n.

5. Опишите, какие команды нужно ввести, прежде чем построить график приближенного решения, полученного в виде степенного ряда.

Разложение в степенной ряд имеет тип series, поэтому для дальнейшей работы с этим рядом его следует преобразовать в полином с помощью команды convert(%,polynom), а затем выделить правую часть полученного выражения командой rhs(%).

6. Какой параметр команды dsolve следует установить, чтобы решить дифференциальное уравнение численно?

Для того, чтобы найти численное решение дифференциального уравнения (задачи Коши или краевой задачи) в команде dsolve следует указать параметр type=numeric (или просто numeric).

7. Как найти значение решения дифференциального уравнения в какой-либо конкретной точке?

Если необходимо получить значение решения при каком-то фиксированном значении переменной х (заодно будет выведено значение производной решения в этой точке), например, при х=0.5, то следует набрать:

> de(0.5);

8. Какая команда позволяет построить график численно решенного дифференциального уравнения?

График численного решения дифференциального уравнения можно построить с помощью команды odeplot(dd, [x,y(x)], x=x1..x2), где в качестве функции используется команда dd:=dsolve(, y(x), numeric) численного решения, после нее в квадратных скобках указывают переменную и неизвестную функцию [x,y(x)], и интервал x=x1..x2 для построения графика. Команда odeplot находится в специальном пакете DEtools.

9. Какой пакет предназначен для графического представления и численного решения дифференциального уравнения?

Для численного решения задачи Коши, построения графиков решения и фазовых портретов в Maple имеется специальный пакет DEtools.

10. В чем отличие команд odeplot и DEplot?

Команда DEplot из пакета DEtools аналогична команде odeplot, но более функциональна. Она, в отличие от odeplot, сама производит численное решение дифференциального уравнения.

11. Как вычислить сумму или произведение в Maple?

Конечные и бесконечные суммы вычисляются командой прямого исполнения sum и отложенного исполнения Sum. Аргументы этих команд одинаковые: sum(expr, n=a..b), где expr – выражение, зависящее от индекса суммирования, a..b – пределы индекса суммирования, указывающие, что суммировать следует от n=a до n=b. Если требуется вычислить сумму бесконечного ряда, то в качестве верхнего предела вводится infinity.
Аналогичным образом вычисляются произведения командами прямого product(P(n),n=a..b) и отложенного действий Product P(n),n=a..b).

Лабораторная работа №7

Линейная алгебра

Контрольные задания

Задание № 1

Даны 2 вектора: , . Найти и угол j между этими векторами.

> with(linalg):

> dotprod(a,b);

> phi=angle(a,b);

Ответ:

Задание № 2

Даны 3 вектора: , и . Найти: и .

> restart; with(linalg):

> ab:=crossprod(a,b);

> x:=crossprod(ab,c);

> bc:=crossprod(b,c);

> f:=crossprod(a,bc);

Ответ: [[a,b],c]=

[a,[b,c]]=

Задание № 3

Даны системы векторов: , , , . Предварительно выяснив, является ли система базисом, применить процедуру ортогонализации Грамма-Шмидта .

> restart;

> with(linalg):

> a1:=vector([2,1,3,-1]):

a2:=vector([7,4,3,-3]):

a3:=vector([1,1,-6,0]): a4:=vector([5,3,0,4]):

> g:=basis([a1,a2,a3,a4]);

> GramSchmidt(g);

Ответ:

Задание №4

Даны матрицы и . Найти: AB, BA, detA, debt

> restart;

> Det(A)=det(A); Det(B)=det(B);

Ответ: AB=

BA=

Задание № 5

Дана матрица: . Найти: detA, А -1 , M32, A‘.

> Det(A)=det(A);

> transpose(A);

> inverse(A);

> minor(A,3,2);

Ответ:

detA=

А -1=

M32=

A‘=

Задание № 6

Найти ранг матрицы: . Привести матрицу С к треугольному виду.

> restart;

> gausselim(C);

Ответ:

Задание № 7

Дана матрица . Найти ее спектр, характеристический многочлен и значение матрицы на нем (вместо переменной l в PА (l) подставить А).

> restart;

> with(linalg):

> eigenvalues(A);

> P(lambda):=charpoly(A,lambda);

> P(A):=evalm(A^5-35*A^4+336*A^3-1296*A^2+2160*A-1296);

Задание № 8

Дана матрица . Найти , det( ), собственные векторы и собственные числа матрицы , ядро матрицы Т.

> with(linalg, exponential):

> exponential(Т);

>exp(T):=matrix([[1+3*exp(1),exp(1),3*exp(1)+1],[3*exp(1),3+exp(1),-3*exp(1)-3],[-1+3*exp(1),exp(1)+1,-3*exp(1)]]);

> det(exp(T));

> eigenvalues(exp(T));

> eigenvectors(exp(T));

> k(T):=kernel(T);

Ответ:

det( )=

собственные числа матрицы =

собственные векторы=

ядро матрицы Т=

Задание № 9

Дана матрица . Найти нормальную форму Жордана, собственные векторы и числа, найти характеристический и минимальный многочлены.

> restart;

> with(linalg): A:=matrix([[3,4,0,2],[4,5,2,4],[0,0,3,2],[0,0,2,-1]]);

REDMOND

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *