Как посчитать предел в wolfram mathematica

REDMOND

Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 5

Система Mathematica может вычислять пределы – замечательные и не очень.

Но при попытке подставить 0 в выражение система, как и положено, "заругается":

Однако при других значениях х значение выражения будет вычислено без проблем.

А вот как вычисляется еще один замечательный предел.

Однако при вычислении пределов нужно проявлять осторожность. Чтобы разобраться, в чем тут дело, рассмотрим следующий (по существу, тривиальный) пример:

Предела (двустороннего) здесь не существует, но:

Таким образом, в данном случае система Mathematica под видом двустороннего предела пытается подсунуть односторонний предел. Честно говоря, это несколько обескураживает и довольно досадно, поскольку с вычислением односторонних пределов система Mathematica в данном примере справляется без труда.

Дело в том, что в некоторых случаях система Mathematica ограничивается односторонними (например, левосторонними, когда переменное приближается слева, т.е. возрастает, или правосторонними, когда переменное приближается справа, т.е. уменьшается) пределами, а для правосторонних пределов нужно указывать Direction › -l. Но разве это хорошо?!

Вычислить предел

Определить предел g(x), зная предел f(x) и предел выражения с ними
Даны две задачи, пожалуйста, проверьте моё решение, оно получилось слишком простым, нет ли подвоха.

Как вычислить дифференциал длины дуги кривой. Как вычислить производную через предел
Как вычислить дифференциал длины дуги кривой? Как вычислить производную через предел?

Лучший ответСообщение было отмечено Zanexess как решение

Решение

Уберите dx из интеграла, у Вас в условии нет такой переменной.
Также определитесь, в каких ограничениях Вы работаете. Например, можно посчитать предел сверху (т.е. при k>0)

Вычислить предел
Если не понятно, то у тангенса (Pi * x) / 10

Вычислить предел
вкпвуыпруыкруык Что это?!

Вычислить предел
Здравствуйте , помогите мне пожалуйста Lim x стремится к p ((3^sin2x)-1)/sin4x

Вычислить предел
lim ((x^2+x-1)^0,5 — (x^2-x+1)^0,5) х стремится к бесконечности пробовала умножить на такую же.

Как посчитать предел в wolfram mathematica

Достаточно войти на страницу wolframalpha набрать в текстовом поле свой запрос и нажать на кнопку " color:rgb(68,68,68);margin-top:0cm;margin-left:0cm;margin-bottom:0.0001pt;text-align:justify;text-indent:12pt;line-height:normal"> (имеет всплывающую подсказку вычислить ) или просто нажать Enter .
Функционал Wolfram Alpha не ограничивается лишь поиском ответов на поставленные вопросы. С помощью этой системы можно, например, строить графики и сопоставлять различные данные, что намного наглядней и лучше воспринимается, чем просто текст. Кроме того, с помощью Wolfram Alpha можно производить математические операции, как элементарные (которые без проблем выполняет и Google), так и решать уравнения различной сложности. Также Wolfram Alpha умеет строить графики функций, вычислять значения синуса или косинуса и так далее.

Например можно решить вот такое уравнение :

Сервис Wolfram Alpha - поисковик который умеет вычислять

а чтобы узнать, какое расстояние между Москвой и Тель-Авивом, нужно ввести в поле

и вот вам результат:
Сервис Wolfram Alpha - поисковик который умеет вычислять

Один из минусов сервиса Wolfram Alpha – это его англоязычность…так что если хотите задать вопрос системе придется писать его на английском языке. Даже неизвестно, появится ли русскоязычная версия этой поисково-вычислительной системы.

Основные команды для Вольфрам Альфа

(Команды вводятся в строку Вольфрама — например выше. Все команды заканчиваются нажатием Enter)

1. Решение уравнений, построение графиков

  • Арифметические знаки плюс, минус, умножить, поделить +, — , *, / Примеры: 3*2, x*y, (a+b)/c
  • Возведение в степень "x в степени а" x^a. Примеры x^a, x**a, (a+b)^2, (a+b)**2, (a+b)^(2x+1)
  • Скобки. Действия в скобках ведутся первыми
  • Функции .sin(x), cos(x), tan(x)=sin(x)/cos(x), cotan(x)=cos(x)/sin(x), sec(x)=1/cos(x), cosec(x)=1/sin(x)
  • Функции log(x), exp(x), sinh(x), cosh(x), tanh(x), cotanh(x)
  • Корень квадратный из "х" sqrt(x) или x^(1/2)

Чтобы вычислить выражение, нужно его просто ввести. Например корень из 2 будет выглядеть как sqrt(2) или же 2^(1/2).

2. Чтобы решить уравнение, нужно просто его ввести

3. Чтобы построить график, нужно использовать команду plot

REDMOND

Например нарисуем с помощью Вольфрама функцию 2^(-x) cos(x). Это делается командой plot (график).

Чтобы построить несколько графиков на одной координатной плоскости (например для визуализации решения систем уравнений), при значении переменной x в интервале (A,B), нужно использовать команду

4. Чтобы собрать множители из двучлена (многочлена) f, наберите factor[f]

5. Чтобы развалить произведение f на слагаемые, используйте команду expand[f]

6. Чтобы упростить выражение f[x], наберите команду Simplify[f[x]]

Например упростить "е в степени догарифм х":

Simplify[ exp[ log[x] ] ]

Вольфрам альфа: интегралы

Как работать с Wolfram Alpha


Основные операции

  • Сложение a+b: a+b
  • Вычитание a-b: a-b
  • Умножение a\cdot b: a*b
  • Деление \frac<b>: a/b
  • Возведение в степень <^<b>>: a^b
  • 314+278; 314—278; 314*278; 314^278;
  • (a^2+b^2)+(a^2-b^2); (a^2+b^2)/(a^2-b^2); (a+b)^(2+2/3).

Знаки сравнения

  • Меньше <: <
  • Больше >: >
  • Равно =: = или ==
  • Меньше или равно \le : <=
  • Больше или равно \ge : >=

Логические символы

  • И \wedge: &&
  • ИЛИ \vee: ||
  • НЕ \neg: !

Основные константы

  • Число \pi: Pi
  • Число e: E
  • Бесконечность \infty: Infinity, inf или oo

Основные функции

\left(a=\operatorname<const>\right)

  • x^: x^a
  • \sqrt<x>: Sqrt[x]
  • \sqrt[n]<x>: x^(1/n)
  • a^<x>: a^x
  • \log_x: Log[a, x]
  • \ln x: Log[x]
  • \cos x: cos[x] или Cos[x]
  • \sin x: sin[x] или Sin[x]
  • \operatorname<tg>x: tan[x] или Tan[x]
  • \operatorname<ctg>x: cot[x] или Cot[x]
  • \sec x: sec[x] или Sec[x]
  • \operatorname<cosec>x: csc[x] или Csc[x]
  • \arccos x: ArcCos[x]
  • \arcsin x: ArcSin[x]
  • \operatorname<arctg>x: ArcTan[x]
  • \operatorname<arcctg>x: ArcCot[x]
  • \operatorname<arcsec>x: ArcSec[x]
  • \operatorname<arccosec>x: ArcCsc[x]
  • \operatorname<ch>x: cosh[x] или Cosh[x]
  • \operatorname<sh>x: sinh[x] или Sinh[x]
  • \operatorname<th>x: tanh[x] или Tanh[x]
  • \operatorname<cth>x: coth[x] или Coth[x]
  • \operatorname<sech>x: sech[x] или Sech[x]
  • \operatorname<cosech>x: csch[x] или Csch[е]
  • \operatorname<areach>x: ArcCosh[x]
  • \operatorname<areash>x: ArcSinh[x]
  • \operatorname<areath>x: ArcTanh[x]
  • \operatorname<areacth>x: ArcCoth[x]
  • \operatorname<areasech>x: ArcSech[x]
  • \operatorname<areacosech>x: ArcCsch[x]

Решение уравнений

Чтобы получить решение уравнения вида f(x)=0достаточно записать в строке Wolfram|Alpha: f[x]=0, при этом Вы получите некоторую дополнительную информацию, которая генерируется автоматически. Если же Вам необходимо только решение, то необходимо ввести: Solve[f[x]=0, x].

  • Solve[Cos[x]+Cos[2x]+Sin[4x]=0,x] или Cos[x]+Cos[2x]+Sin[4x]=0;
  • Solve[x^5+x^4+x+1=0,x] или x^5+x^4+x+1=0;
  • Solve[Log[3,x^2+x+1]-Log[9,x^2]=0,x] или \Log[3,x^2+x+1]-Log[9,x^2]=0.

Если Ваше уравнение содержит несколько переменных, то запись: f[x, y,…,z]=0 даст весьма разнообразный набор сведений, таких как решение в целых числах, частные производные функции fи т. д. Чтобы получить решение уравнения вида f(x,y. z)=0по какой-либо одной из переменных, нужно написать в строке: Solve[f[x, y, …, z]=0, j], где j— интересующая Вас переменная.

  • Cos[x+y]=0 или Solve[Cos[x+y]=0,x] или Solve[Cos[x+y]=0,y];
  • x^2+y^2-5=0 или Solve[x^2+y^2-5=0,x] или Solve[x^2+y^2-5=0,y];
  • x+y+z+t+p+q=9.

Решение неравенств

Решение в Wolfram Alpha неравенств типа f(x)>0, f\left( x \right) \geqslant 0полностью аналогично решению уравнения f(x)=0. Нужно написать в строке WolframAlpha: f[x]>0 или f[x]>=0 или Solve[f[x]>0, x] или Solve[f[x]>=0,x].

  • Cos[10x]-1/2>0 или Solve[Cos[10x]-1/2>0,x];
  • x^2+5x+10>=0 или Solve[x^2+5x+10>=0,x].

Если Ваше неравенство содержит несколько переменных, то запись: f[x, y,…,z]>0 или f[x, y,…,z]>=0 даст весьма разнообразный набор сведений, как и в случае соответствующих уравнений. Чтобы получить решение такого неравенства по какой-либо одной из переменных нужно написать в строке: Solve[f[x, y,…,z]>0,j] или Solve[f[x, y,…,z]>=0,j], где j— интересующая Вас переменная.

  • Cos[x+y]>0 или Solve[Cos[x+y]>0,x] или Solve[Cos[x+y]>0,y];
  • x^2+y^3-5<0 или Solve[x^2+y^3-5<0,x] или Solve[x^2+y^3-5<0,y];
  • x+y+z+t+p+q>=9.

Решение различных систем уравнений, неравенств и уравнений

Решение систем различного вида в Wolfram Alpha крайне просто. Достаточно набрать уравнения и неравенства Вашей системы, точно так, как это описано выше в пунктах 7. и 8., соединяя их союзом «И», который в Wolfram Alpha имеет вид &&.

  • x^3+y^3==9&&x+y=1;
  • x+y+z+p==1&&x+y-2z+3p=2&&x+y-p=-3;
  • Sin[x+y]+Cos[x+y]==Sqrt[3]/4&&x+y²=1;
  • Log[x+5]=0&&x+y+z<1.

Построение графиков функций

Сервис Wolfram Alpha поддерживает возможность построения графиков функций как вида f(x), так и вида f(x,y). Для того, чтобы построить график функции f(x)на отрезке x \in \left[ <a,b>\right] нужно написать в строке Wolfram Alpha: Plot[f[x],]. Если Вы хотите, чтобы диапазон изменения ординаты yбыл конкретным, например y \in \left[ <c,d>\right], нужно ввести: Plot[f[x],,].

  • Plot[x^2+x+2, ];
  • Plot[x^2+x+2, ,];
  • Plot[Sin[x]^x, ];
  • Plot[Sin[x]^x, ,].

Если Вам требуется построить сразу несколько графиков на одном рисунке, то перечислите их, используя союз «И»:Plot[f[x]&&g[x]&&h[x]&&…&&t[x],].

  • Plot[x&&x^2&&x^3, ,];
  • Plot[Sin[x]&&Sin[5x]&&Sin[10x]&&Sin[15x], ].

Для того, чтобы построить график функции f(x,y)на прямоугольнике x \in \left[ <a,b>\right],y \in \left[ <c,d>\right], нужно написать в строке Wolfram Alpha: Plot[f[x, y],,]. К сожалению, диапазон изменения аппликаты zпока что нельзя сделать конкретным. Тем не менее, интересно отметить, что при построении графика функции f(x,y)Вы получите не только поверхность, которую она определяет, но и «контурную карту» поверхности (линии уровня).

  • Plot[Sin[x^2+y^2],,];
  • Plot[xy,,].

Математический анализ

Wolfram Alpha способен находить пределы функций, последовательностей, различные производные, определенные и неопределенные интегралы, решать дифференциальные уравнения и их системы и многое многое другое.

Пределы

Для того, чтобы найти предел последовательности \left\< <<x_n>> \right\> нужно написать в строке Wolfram Alpha: Limit[x_n, n -> Infinity].

  • Limit[n^3/(n^4 + 2*n), n -> Infinity];
  • Limit[(1+1/n)^n, n -> Infinity].

Найти предел функции f(x)при x \to aможно совершенно аналогично: Limit[f[x], x -> a].

  • Limit[Sin[x]/x, x -> 0];
  • Limit[(1-x)/(1+x), x -> −1].

Производные

Для того, чтобы найти производную функции f(x)нужно написать в строке WolframAlpha: D[f[x], x]. Если Вам требуется найти производную n-го порядка, то следует написать: D[f[x], ]. В том случае, если Вам требуется найти частную производную функции f(x,y,z. t)напишите в окне гаджета: D[f[x, y, z,…,t], j], где j— интересующая Вас переменная. Если нужно найти частную производную по некоторой переменной порядка n, то следует ввести: D[f[x, y, z,…,t], ], где jозначает тоже, что и Выше.

Важно подчеркнуть, что Wolfram Alpha выдает пошаговое нахождение производной при нажатии на «Show Steps» в правом верхнем углу выдаваемого ей ответа.

  • D[x*E^x, x];
  • D[x^3*E^x, ];
  • D[x^3*y^2*Sin[x+y], x];
  • D[x^3*y^2*Sin[x+y], y],
  • D[x/(x+y^4), ].

Интегралы

Для того, чтобы найти неопределенный интеграл от функции f(x)нужно написать в строке WolframAlpha: Integrate f[x], x. Найти определенный интеграл \int\limits_a^b <f\left( x \right)dx> так же просто: Integrate[f[x], ] либо Integrate f(x), x=a..b.

Важно подчеркнуть, что Wolfram Alpha выдает пошаговое нахождение интеграла при нажатии на «Show Steps» в правом верхнем углу выдаваемого ей ответа.

  • Integrate[Sin[x]/x², x];
  • Integrate[x^10*ArcSin[x], x];
  • Integrate[(x+Sin[x])/x, ];
  • Integrate[Log[x^3+1]/x^5, ].

Дифференциальные уравнения и их системы

Чтобы найти общее решение дифференциального уравнения F(x,y,yнужно написать в строке WolframAlpha: F[x, y, y’,y»,…] (при k-й производной y ставится k штрихов).

Если Вам требуется решить задачу Коши, то впишите: F[x, y, y’,y»,…], y[s]==A,y'[s]==B, …. Если нужно получить решение краевой задачи, что краевые условия, так же перечисляются через запятую, причем они должны иметь вид y[s]==S.

Решение систем дифференциальных уравнений также просто, достаточно вписать: , где f_1, f_2, …, f_n — дифференциальные уравнения, входящие в систему. К сожалению, решение задач Коши и краевых задач для систем дифференциальных уравнений пока-что не поддерживается.

  • y»’+y»+y=Sin[x];
  • y»+y’+y=ArcSin[x];
  • y»+y+y^2=0;
  • y»=y, y[0]=0, y'[0]=4;
  • y+x*y’=x, y[6]=2;
  • y»'[x]+2y»[x]-3y'[x]+y=x, y[0]=1, y[1]=2, y'[1]=2;
  • .

Ошибки при работе с системой

Система может допускать некоторые ошибки при решении сложных задач [1] . К примеру, если попытаться решить неравенство \frac<3x^2-18x+24><2x-2>-\frac<3x-12><2x^2-6x+4><0, для чего ввести запрос solve (3x^2-18x+24)/(2x-2)-(3x-12)/(2x^2-6x+4)<0, то Wolfram|Alpha выдаст в качестве ответа промежуток x \in (-\mathcal <1>; 2) \cup (3; 4), в котором будет присутствовать точка 1, обращающая оба знаменателя исходного неравенства в 0. Сейчас эта ошибка исправлена.

REDMOND

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *