Как найти производную функции в mathcad

Корпорация "Центр"

11. Тема 3. Вычисление суммы, произведения, производной и интеграла в MathCad. Краткие теоретические сведения

Формульный редактор системы MathCad дает возможность вычислять значения сумм, произведений, производной и интегралов. Шаблоны этих операций находятся среди кнопок палитры математического анализа.

Эти операции могут быть применены как к структурированным данным (дискретным переменным, массивам), так и к функциям.

Порядок вычисления суммы и произведения осуществляется следующим образом:

А) нажатием соответствующей кнопки палитры математических инструментов выводятся шаблоны операций суммы или произведения;

Б) нижнее окно шаблона заполняется начальным значением дискретной переменной;

В) верхнее окно шаблона заполняется конечным значением дискретной переменной;

Г) среднее окно шаблона заполняется любым выражением, которое включает в себя дискретную переменную.

Вычисление значений m-кратных (m≥1) и частных производных функций в заданных точках, осуществляется следующим образом:

А) нажатием соответствующей кнопки палитры математических инструментов вводится шаблон операции дифференцирования;

Б) нижнее окно шаблона заполняется именем переменной дифференцирования;

В) среднее окно шаблона заполняется дифференцируемой функцией;

Г) для вычисления m-кратной производной вводится необходимая степень, например 2.

Система MathCad позволяет вычислять как обычные m-кратные (m≥1) определенные интегралы, так и криволинейные интегралы. Последовательность выполнения расчетов при работе с операцией интегрирования имеет следующий вид:

А) нажатием соответствующей кнопки палитры математических инструментов вводится шаблон определенного интеграла;

Б) в среднем окне шаблона задается вид подынтегральной функции, после символа D Имя переменной интегрирования;

В) в верхних и нижних окнах возле знака интеграла задаются верхний и нижний пределы интегрирования (действительные выражения).

Подынтегральная функция может быть как действительной, так и комплексной. В качестве пределов интегрирования, а также пределов подынтегрального выражения допускается использование дискретной переменной, в этом случае результатом вычислений является таблица интегралов.

Частные производные

С помощью обоих процессоров Mathcad можно вычислять производные функций любого количества аргументов. В этом случае, как известно, производные по разным аргументам называются частными. Чтобы вычислить частную производную, необходимо, как обычно, ввести оператор производной с панели Calculus (Вычисления) и в соответствующем местозаполнителе напечатать имя переменной, по которой должно быть осуществлено дифференцирование. Пример приведен в листинге 7.16, в первой строке которого определена функция двух переменных, а в двух следующих строках символьным образом вычислены ее частные производные по обеим переменным — х и у — соответственно. Чтобы определить частную производную численным методом, необходимо предварительно задать значения всех аргументов, что и сделано в следующих двух строках листинга. Последнее выражение в листинге снова (как и в третьей строке) определяет символьно частную производную по у. Но поскольку переменным х и у уже присвоено конкретное значение, то в результате получается число, а не аналитическое выражение.

Листинг 7.16 Символьное и численное вычисление частных производных

Корпорация "Центр"

Частные производные высших порядков рассчитываются точно так же, как и обычные производные высших порядков (см. разд. 7.2.2). Листинг 7.17 иллюстрирует расчет вторых производных функции из предыдущего примера по переменным х, у и смешанной производной.

Листинг 7.17. Вычисление второй частной производной

Возможно, Вы обратили внимание, что в обоих листингах 7.16 и 7.17 оператор дифференцирования записан в форме частной производной. Подобно тому как существует возможность выбирать вид, например оператора присваивания, можно записывать операторы дифференцирования в виде обычной или частной производной. Запись оператора не влияет на вычисления, а служит лишь более привычной формой представления расчетов. Для того чтобы изменить вид оператора дифференцирования на представление частной производной, следует:

  • Вызвать контекстное меню из области оператора дифференцирования нажатием правой кнопки мыши.
  • Выбрать в контекстном меню верхний пункт View Derivative As (Показывать производную как).
  • В появившемся подменю (рис. 7.5) выбрать пункт Partial Derivative (Частная производная).

Рис. 7.5. Изменение вида оператора дифференцирования

Чтобы вернуть вид производной, принятый по умолчанию, выберите в подменю пункт Default (По умолчанию) либо, для представления ее в обычном виде — Derivative (Производная).

Завершим разговор о частных производных двумя примерами, которые нередко встречаются в вычислительной практике. Программная реализация первого из них, посвященная вычислению градиента функции двух переменных, приведена в листинге 7.18. В качестве примера взята функция f (x,y), определяемая в первой строке листинга, график которой показан в виде линий уровня на рис. 7.6. Как известно, градиент функции f(х,у) является векторной функцией тех же аргументов, что и f (х,у), определенной через ее частные производные, согласно второй строке листинга 7.18. В оставшейся части этого листинга задаются ранжированные переменные и матрицы, необходимые для подготовки графиков функции и ее градиента.

Листинг 7.18. Вычисление градиента

Векторное поле рассчитанного градиента функции f(x,y) показано на рис. 7.7. Как можно убедиться, сравнив рис. 7.6 и 7.7, математический смысл градиента состоит в задании в каждой точке (х,у) направления на плоскости, в котором функция f (х,у) растет наиболее быстро.

До сих пор в данной главе мы рассматривали скалярные функции, к которым, собственно, и можно применять операторы дифференцирования. Часто приходится иметь дело с вычислением производных векторных функций. Например, в различных областях математики (см. разд. "Жесткие системы ОДУ" гл. 11) мы сталкиваемся с проблемой вычисления якобиана (или матрицы Якоби) — матрицы, составленной из частных производных векторной функции по всем ее аргументам. Пример вычисления якобиана векторной функции f (х) векторного аргумента х приведен в листинге 7.19. В нем для определения частных производных якобиана каждый i-й скалярный компонент f (x)i дифференцируется символьным процессором Mathcad.

Рис. 7.6. График линий уровня функции f (х,у) (листинг 7.18)

Рис. 7.7. Векторное поле градиента функции f (х,у) (листинг 7.18)

Тот же самый якобиан можно вычислить и несколько по-другому, если определить функцию не одного векторного, а трех скалярных аргументов f(x,y,z) (листинг 7.20).

Листинг 7.19. Вычисление якобиана векторной фенкции векторного аргумента

Листинг 7.20. Вычисление якобиана векторной функции трех скалярных аргумента

Не забывайте, что для численного определения якобиана необходимо сначала определить точку, в которой он будет рассчитываться, т. е. вектор х в терминах листинга 7.19, или все три переменных х,у, z в обозначениях листинга 7.20.

3.1.2. Вычисление производной функции в точке MathCAD 12 руководство

Для того чтобы рассчитать производную в точке, необходимо предварительно задать значение аргумента в этой точке (листинг 3.2, вторая строка). Результатом дифференцирования в этом случае будет число — значение производной в этой точке. Если результат удается отыскать аналитически, то он приводится в виде числового выражения, а для того, чтобы получить его в форме числа, достаточно ввести после выданного выражения символ числового равенства <=> (последняя строка листинга 3.2).
Листинг 3.2. Аналитическое дифференцирование функции в точке

Для того чтобы продифференцировать функцию, вовсе не обязательно предварительно присваивать ей какое-либо имя, как это сделано в листингах 3.1, 3.2. Можно определить функцию непосредственно в операторе дифференцирования (это демонстрирует первая строка листинга 3.3).

Листинг 3.3. Правильное и неправильное использование оператора дифференцирования

Как вы заметили, оператор дифференцирования, в основном, соответствует его общепринятому математическому обозначению, и поэтому его легко использовать интуитивно. Однако в некоторых случаях при вводе оператора дифференцирования следует проявить осторожность. Рассмотрим один показательный пример, приведенный во второй строке листинга 3.3, который демонстрирует неправильное применение оператора дифференцирования для вычисления производной в точке. Вместо вычисления производной sin(x) при х=2, как этого можно было ожидать, получено нулевое значение. Это случилось из-за того, что аргумент функции sin(x) введен не в виде переменной х, а в виде числа. Поэтому Mathcad воспринимает последнюю строку как вычисление сначала значения синуса в точке х=2, а затем дифференцирование этого значения (т. е. константы) также в точке х=2, в соответствии с требованием первой строки листинга. Поэтому ответ, на самом деле, неудивителен — в какой точке ни дифференцируй константу, результатом будет ноль.

То же самое касается и операции численного дифференцирования, т. е. применения оператора <=> вместо <- > > .

Корпорация "Центр"

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *