Как найти площадь под графиком в mathcad

Корпорация "Центр"

Как найти площадь под графиком в mathcad

БлогNot. Методы численного интегрирования в MathCAD

Методы численного интегрирования в MathCAD

Теорию по численному интегрированию можно почитать, например, здесь, а в этой заметке займёмся реализацией в Маткаде основных методов численного интегрирования, которые чаще всего "проходят" в ВУЗах.

Все рассмотренные ниже методы, в сущности, между собой похожи — если одномерный определённый интеграл есть площадь криволинейной трапеции под графиком:

, то весь вопрос только в том, какой именно из простых зависимостей (прямая, парабола и т.п.) мы заменим подынтегральную функцию, от которой, в общем случае, интеграл не берётся аналитически (или которая нам неизвестна, но приближена интерполяционным полиномом, или интеграл можно взять, но очень трудоёмко и т.д.)

Ясно, что можно заменить и вот так:

, считая, что площадь жирного прямоугольника приблизительно равна искомой площади под кривой, но это будет очень уж неточно, поэтому отрезок интегрирования по оси x всегда разбивают на небольшие интервалы (проще всего, с постоянным шагом h ) и находят значение интеграла как сумму площадей простых фигур, например, прямоугольников, нижняя сторона которых равна h , а высота — значению f(x) , взятому в некоторой точке интервала (на рисунке — в серединах):

Ясно, что погрешность уменьшится, но останется.

Теперь от слов к Маткаду. Определим тестовую функцию f(x) , пределы интегрирования [a,b] и число интервалов n , на которое разбивается отрезок [a,b] . Величину шага h затем вычислим как (b-a)/n . В учебных целях выведем также "точное" значение искомого интеграла. Следует понимать, что "точное" оно лишь в кавычках, MathCAD-то искал его тоже численным методом.

Реализуем три основных метода прямоугольников. Разница между ними в том, в какой точке каждого отрезка на интервале интегрирования — левой, правой или в середине — берётся значение функции f(x) .

В методе трапеций мы для каждого отрезка интегрирования [xi,xi+1] соединяем отрезком прямой линии точки f(xi) и f(xi+1) , считая интеграл как сумму площадей трапеций. Это всегда точнее, а сам метод ещё достаточно прост. По-моему, близок к оптимуму при массовых расчётах.

Наконец, в методе Симпсона (парабол) функцию f(x) на каждом отрезке интегрирования заменяют параболой, то есть, кривой второго порядка. Расчёт становится сложнее, но точность повышается в разы. Существует немало разновидностей формулы для метода Симпсона, вот 2 неплохих способа расчёта:

Ниже показаны оценки погрешностей для всех методов.

Увеличивая число интервалов n , можно оценить и порядок точности всех методов.

Например, для метода первого порядка точности (методы левых и правых прямоугольников) при увеличении числа интервалов разбиения по оси x вдвое ( n:=20 вместо n:=10 в начале документа) погрешность решения должна уменьшиться примерно в 2 раза. Для методов второго порядка точности (средних прямоугольников, трапеций) при уменьшении шага по x вдвое погрешность уменьшится примерно в 4 раза (второй по h порядок точности и означает, что погрешность уменьшается пропорционально величине h 2 ). Метод Симпсона имеет четвёртый порядок точности, то есть, при уменьшении шага вдвое (увеличении вдвое числа интервалов n ) погрешность решения уменьшится примерно в 2 4 =16 раз.

Следует помнить, что на дискретизации по оси x свет клином не сошёлся, существуют красивые альтернативные методы, скажем, метод Монте-Карло 🙂 При многомерном интегрировании он становится, пожалуй, предпочтительней.

Показанные методы можно реализовать и без использования инструментов панели программирования, только с помощью оператора суммы и арифметики. Приведу примеры для методов средних прямоугольников, трапеций и Симпсона, вроде бы, всё работает:

Определение площадей фигур, ограниченных непрерывными линиями

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), отрезком [a,b] на оси Ox и двумя вертикалями х = а и х = b, a < b, определяется по формуле: .

Пример. Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями f(x) = 1 – x 2 и y = 0.

Рис. 6.5. Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями f(x) = 1 – x 2 и y = 0

Площадь фигуры, заключенной между графиками функций f1(x) и f2(x)и прямыми х = а и х = b, вычисляется по формуле:

Внимание. Чтобы избежать ошибок при вычислении площади, разность функций надо брать по модулю. Таким образом, площадь будет всегда положительной величиной.

Пример. Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями и . Решение представлено на рисунке 6.6.

1. Строим график функций.

2. Находим точки пересечения функций с помощью функции root. Начальные приближения определим по графику.

3. Найденные значения x подставляем в формулу как пределы интегрирования.

8.3 Построение кривых по заданным точкам

Построение прямой, проходящей через две заданные точки

Для составления уравнения прямой, проходящей через две точки А(x0,y0) и B(x1,y1), предлагается следующий алгоритм:

1. Прямая задается уравнением y = ax + b,

где a и b — коэффициенты прямой, которые нам требуется найти.

Подставляем в это уравнение заданные координаты точек и получаем систему:

2. Данная система является линейной. В ней две неизвестные переменные: a и b. Систему можно решить матричным способом.

Пример. Построение прямой, проходящей через точки А(–2,–4) и В(5,7).

Подставим в уравнение прямой координаты данных точек и получим систему:

Решение этой системы в MathCAD представлено на рисунке 6.7.

Рис. 6.7.Решение системы

В результате решения системы получаем: а = 1.57, b = –0.857. Значит, уравнение прямой будет иметь вид: y = 1.57x – 0.857. Построим эту прямую (рис. 6.8).

Рис. 6.8. Построение прямой

Построение параболы, проходящей через три заданные точки

Для построения параболы, проходящей через три точки А(x0,y0), B(x1,y1) и C(x2,y2), алгоритм следующий:

1. Парабола задается уравнением

y = ax 2 + bх + с, где

а, b и с — коэффициенты параболы, которые нам требуется найти.

Подставляем в это уравнение заданные координаты точек и получаем систему:

.

2. Данная система является линейной. В ней три неизвестные переменные: a, b и с. Систему можно решить матричным способом.

3. Полученные коэффициенты подставляем в уравнение и строим параболу.

Пример. Построение параболы, проходящей через точки А(–1,–4), B(1,–2) и C(3,16).

Подставляем в уравнение параболы заданные координаты точек и получаем систему:

Решение этой системы уравнений в MathCAD представлено на рисунке 6.9.

Рис. 6.9. Решение системы уравнений

В результате получены коэффициенты: a = 2, b = 1, c = –5. Получаем уравнение параболы: 2x 2 +x –5 = y. Построим эту параболу (рис. 6.10).

Рис. 6.10. Построение параболы

Построение окружности, проходящей через три заданные точки

Для построения окружности, проходящей через три точки А(x1,y1), B(x2,y2) и C(x3,y3), можно воспользоваться следующим алгоритмом:

1. Окружность задается уравнением

,

где x0,y0 — координаты центра окружности;

R — радиус окружности.

2. Подставим в уравнение окружности заданные координаты точек и получим систему:

.

Данная система является нелинейной. В ней три неизвестные переменные: x0, y0 и R. Система решается с применением вычислительного блока Given – Find.

Пример. Построение окружности, проходящей через три точки А(–2,0), B(6,0) и C(2,4).

Подставим в уравнение окружности заданные координаты точек и получим систему:

Решение системы в MathCAD представлено на рисунке 6.11.

Корпорация "Центр"

Рис. 6.11. Решение системы

В результате решения системы получено: x0 = 2, y0 = 0, R = 4. Подставим полученные координаты центра окружности и радиус в уравнение окружности. Получим: . Выразим отсюда y и построим окружность (рис. 6.12).

Интегральное исчисление. Нахождение площадей фигур в среде Mathcad

Интегральное исчисление. Нахождение площадей фигур в среде MathcadПреподавате.

Интегральное исчисление. Нахождение площадей фигур в среде MathcadПреподавате

1 слайд

Описание слайда:

Интегральное исчисление.
Нахождение площадей фигур в среде Mathcad
Преподаватель математики: Шутилина С.Н.

Площадь фигурыДля нахождения площади фигуры, ограниченной кривыми, использует

2 слайд

Описание слайда:

Площадь фигуры
Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривыми, используется определенный интеграл. При этом, пределы интегрирования находятся в точках пересечения заданных кривых

Работа в MathcadВ среде Mathcad для определения пределов интегрирования испол

3 слайд

Описание слайда:

Работа в Mathcad
В среде Mathcad для определения пределов интегрирования используется функция root(f(x),x), а для нахождения определенного интеграла – соответствующий шаблон на наборной панели Calculus

Формулировка заданияНайти площадь фигуры, ограниченной кривыми:

4 слайд

Описание слайда:

Формулировка задания
Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми:

Реализация в среде MathcadДля определения пределов интегрирования необходимо

5 слайд

Описание слайда:

Реализация в среде Mathcad
Для определения пределов интегрирования необходимо будет построить графики обеих функций, графически определить приближенные значения, а потом, используя функцию root(f(x),x), найти точные значения пределов интегрирования
Для построения графиков функций, обозначим одну функцию за f(x), а вторую за y(x)

Реализация в среде MathcadЗададим обе функции:

6 слайд

Описание слайда:

Реализация в среде Mathcad
Зададим обе функции:

Реализация в среде MathcadПостроим графики этих функций:

7 слайд

Описание слайда:

Реализация в среде Mathcad
Построим графики этих функций:

Реализация в среде MathcadПо графику определилась фигура, площадь которой нуж

8 слайд

Описание слайда:

Реализация в среде Mathcad
По графику определилась фигура, площадь которой нужно найти:
Зададим эту новую функцию в Mathcad

Реализация в среде MathcadТакже графически определились приближенные пределы

9 слайд

Описание слайда:

Реализация в среде Mathcad
Также графически определились приближенные пределы интегрирования
Зададим приближенное значение нижнего предела интегрирования:

Реализация в среде MathcadТочное значение нижнего предела интегрирования найд

10 слайд

Описание слайда:

Реализация в среде Mathcad
Точное значение нижнего предела интегрирования найдем с помощью функции root.
Будем учитывать, что вместо f(x), в функции root используется g(x):

Реализация в среде MathcadЗададим приближенное значение верхнего предела инте

11 слайд

Описание слайда:

Реализация в среде Mathcad
Зададим приближенное значение верхнего предела интегрирования и найдем его точное значение:

Реализация в среде MathcadТеперь можно найти значение интеграла фигуры g(x),

12 слайд

Описание слайда:

Реализация в среде Mathcad
Теперь можно найти значение интеграла фигуры g(x), ограниченной линиями f(x) и y(x):

ВыводыСреда Mathcad упрощает решение сложных математических задач и позволяет

13 слайд

Описание слайда:

Выводы
Среда Mathcad упрощает решение сложных математических задач и позволяет использовать на занятиях по математике не только традиционные методы, но и компьютерную технику, которая облегчает вычисления.
Однако, существенным недостатком решения задач с помощью Mathcad является то, что среда выводит только конечный результат, поэтому промежуточные вычисления не видны пользователю

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

  • подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
  • по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

Охрана труда

  • Сейчас обучается 105 человек из 46 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Библиотечно-библиографические и информационные знания в педагогическом процессе

  • Сейчас обучается 337 человек из 66 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Охрана труда

  • Сейчас обучается 169 человек из 48 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

  • ЗП до 91 000 руб.
  • Гибкий график
  • Удаленная работа

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

также Вы можете выбрать тип материала:

  • Все материалы
  • Статьи
  • Научные работы
  • Видеоуроки
  • Презентации
  • Конспекты
  • Тесты
  • Рабочие программы
  • Другие методич. материалы

Общая информация

  • Другое
  • Презентации

Похожие материалы

Памятка :" Антитеррористическая безопасность"
Статья "Концепция развития общего и профессионального образования в рамках стратегии социально- экономического развития Республики Татарстан"
Трудовые резервы 26А
Заводская 21
Заводская 23
"Варианты сервировки стола" 1-я младшая группа
Митоз
Конкурс фотографий

Не нашли то что искали?

Воспользуйтесь поиском по нашей базе из
5327985 материалов.

Вам будут интересны эти курсы:

  • Курс повышения квалификации «Формирование компетенций межкультурной коммуникации в условиях реализации ФГОС»
  • Курс профессиональной переподготовки «Экскурсоведение: основы организации экскурсионной деятельности»
  • Курс профессиональной переподготовки «Клиническая психология: организация реабилитационной работы в социальной сфере»
  • Курс повышения квалификации «Экономика и право: налоги и налогообложение»
  • Курс повышения квалификации «Экономика предприятия: оценка эффективности деятельности»
  • Курс повышения квалификации «Разработка бизнес-плана и анализ инвестиционных проектов»
  • Курс повышения квалификации «Страхование и актуарные расчеты»
  • Курс повышения квалификации «Основы менеджмента в туризме»
  • Курс повышения квалификации «Организация маркетинга в туризме»
  • Курс профессиональной переподготовки «Управление сервисами информационных технологий»
  • Курс профессиональной переподготовки «Метрология, стандартизация и сертификация»
  • Курс профессиональной переподготовки «Организация и управление службой рекламы и PR»
  • Курс профессиональной переподготовки «Технический контроль и техническая подготовка сварочного процесса»
  • Курс профессиональной переподготовки «Стратегическое управление деятельностью по дистанционному информационно-справочному обслуживанию»

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

Кузнецова призвала разработать закон о психологической помощи

Время чтения: 1 минута

В России зарегистрировали вакцину от коронавируса для подростков

Время чтения: 1 минута

Когда дети начинают шутить

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения подготовило проект плана по модернизации детских лагерей в России

Время чтения: 3 минуты

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

  • Курсы «Инфоурок»
  • Онлайн-занятия с репетиторами на IU.RU

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Корпорация "Центр"

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *