Как найти определитель матрицы в mathcad

GeekBrains

7.3.1. Определитель квадратной матрицы MathCAD 12 руководство

Определитель ( Determinant ) матрицы обозначается стандартным математическим символом. Чтобы ввести оператор нахождения определителя матрицы, можно нажать кнопку Determinant (Определитель) на панели инструментов Matrix (Матрица) (листинг 7.14) или набрать на клавиатуре <|> (нажав клавиши <Shift>+<\>). В результате любого из этих действий появляется местозаполнитель, в который следует поместить матрицу. Чтобы вычислить определитель уже введенной матрицы:

1. Переместите курсор в документе таким образом, чтобы поместить матрицу между линиями ввода (напоминаем, что линии ввода — это вертикальный и горизонтальный отрезки синего цвета, образующие уголок, указывающий на текущую область редактирования).

2. Введите оператор нахождения определителя матрицы.

3. Введите знак равенства (либо символьного вывода), чтобы вычислить определитель (численно или аналитически соответственно, как это показано в листинге 7.14).

Не путайте операторы вычисления определителя квадратной матрицы и длины вектора. В Matncad 12 введен принудительный контроль действий пользователя при вводе этих операторов во избежание путаницы (т. к. один и тот же символ используется для этих двух операций). При попытке вычислить определитель матрицы с помощью оператора |А| , введенного с панели Calculator (Калькулятор), а не Matrix (Матрица), будет выдано сообщение об ошибке, а результат вычисления детерминанта появится только после того, как пользователь вызовет контекстное меню и подтвердит в нем, что он собирается вычислить именно определитель матрицы. То же самое касается и длины вектора, если попытаться ввести его не с панели Calculator (Калькулятор), а с панели Matrix (Матрица).

Лабораторная работа № 2.

Приобретение умений вычислять определители, находить миноры и алгебраические дополнения, решать системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными по формулам Крамера, находить обратные матрицы, в том числе и средствами математического пакета MathCAD.

2. Содержание работы

1) Вычислите определитель 2-го порядка (табл. 1). Решение оформите в тетради.

2) Вычислите определитель 3-го порядка матрицы A (табл. 2) двумя способами: по правилу треугольников и по теореме разложения. Решение оформите в тетради.

3) Найдите обратную матрицу A –1 матрицы A (табл. 2). Решение оформите в тетради и сдайте на проверку.

4) Используя программу MathCAD, вычислите определитель матрицы B (табл. 3). Выполненное задание отчитайте преподавателю.

5) Используя программу MathCAD, вычислите обратную матрицу B –1 матрицы B (табл. 3). Выполненное задание отчитайте преподавателю.

6) Найдите решение системы (табл. 4) по формулам Крамера и с помощью функции Find, используя программу MathCAD,. Выполненное задание отчитайте преподавателю.

3. Общие сведения и примеры выполнения заданий

Определителем 2-го порядка матрицы называется число, обозначаемое символами D, det A, |A|, и вычисляемое по правилу: .

Пример 1. .

Определителем 3-го порядка матрицы называется число, обозначаемое символами D, det A, |A|, и вычисляемое по правилу Сарруса (правилу треугольников):

Для лучшего запоминания правила треугольников приведем схему:

Пример 2.

Аналогично определяются определители порядка старше третьего.

Минором элемента aij определителя n-го порядка называется число Mij, равное определителю порядка n–1, который получается из данного вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнением элемента aij определителя n-го порядка называется число Aij, вычисляемое по формуле Aij = (–1) i + j × Mij.

Пример 3. Минор элемента а32 = 3 определителя равен: , а алгебраическое дополнение этого элемента равно .

Теорема (разложения). 1) Для каждой квадратной матрицы А порядка n сумма произведений элементов какой-либо строки (или столбца) на их соответствующие алгебраические дополнения равна определителю матрицы A. 2) Сумма произведений элементов какой-либо строки (или столбца) на алгебраические дополнения другой строки (или столбца) равна нулю.

Пример 4. .

В примере выбрана третья строка, т.к. элемент , а это облегчает вычисление. По той же причине можно выбрать второй столбец.

Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет вид:

где числа aijкоэффициенты системы, числа b1, b2, b3свободные члены, переменные x1, x2, x3неизвестные системы.

Решением системы называется упорядоченная тройка чисел (a; b; g), при подстановке которых в систему вместо неизвестных каждое уравнение обращается в верное числовое равенство.

Для нахождения решения составим четыре определителя 3-го порядка: , , , . Формулы Крамера получаются, если из системы исключать последовательно по две неизвестные, используя теорему разложения для столбцов. В результате при D ¹ 0 получим формулы Крамера для решения системы:

Пример 5. Решите систему по формулам Крамера.

GeekBrains

Решение. Составим и вычислим четыре определителя 3-го порядка: , , , .

По формулам Крамера получим: , , .

Ответ: (1; 2; 3).

Обратная матрица определяется в связи с необходимостью введения операции, аналогичной делению для решения матричных уравнений вида AX=B и XA=B, где X – неизвестная матрица.

Матрица A –1 называется обратной для квадратной матрицы A порядка n, если выполняются равенства A –1 ×A = A×A –1 = En, где En – единичная матрица порядка n.

Квадратная матрица A называется невырожденной, если |A|¹0. В противном случае матрица A называется вырожденной.

Теорема. Если квадратная матрица порядка n невырожденная, то она имеет обратную матрицу, которая вычисляется по формуле: , где Aij – алгебраические дополнения элементов aij матрицы A соответственно.

Пример 6. Найдите обратную матрицу для матрицы .

Решение. Вычислим определитель исходной матрицы: , следовательно, матрица A невырожденная и имеет обратную. Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы A:

По теореме об обратной матрице получим:

Ответ: .

Настройка окон программы MathCAD для работы с матрицами:

· На главной панели инструментов Math нажмите на кнопки и (если главной панели инструментов на экране нет, то View ® Toolbars ® Math). Первая кнопка открывает панель Calculator, а вторая – панель Matrix.

Для вычисления определителя или обратной матрицы:

· Нажмите кнопку на панели Matrix.

· В появившемся окне Insert Matrix укажите число строк (Rows) и столбцов (Columns) матрицы и щелкните на кнопке OK.

· В появившемся поле введите элементы матрицы.

· Используя клавиатуру, стрелкой выйдите за границы матрицы.

· Для вычисления определителя матрицы нажмите кнопку на панели Matrix, а для нахождения обратной матрицы – кнопку на этой же панели.

· Используя панель Calculator, нажмите знак «=». Для получения простых дробей вместо знака «=» нужно использовать знак «®», набранный с клавиатуры с помощью комбинации клавиш Ctrl+«×».

Для решения систем линейных уравнений с помощью функции Find:

· Введите с клавиатуры Given и нажмите Enter.

· Введите заданную систему уравнений. Знак «=» следует вводить при помощи комбинации клавиш Ctrl+«=». В конце каждого уравнения нажмите Enter.

· Введите с клавиатуры Find и в скобках через запятую укажите переменные, подлежащие определению. Например, Find(x,y,z).

· Введите знак «®», набранный с клавиатуры с помощью комбинации клавиш Ctrl+«×» и щелкните на свободном поле.

Определитель матрицы в Mathcad содержащий кроме чисел в ячейках матрицы еще и одну переменную

Нужно сосчитать вот такой определитель, и понятное дело, что если руками считать, то получится какой-нибудь полином, или дробь, содержащая полином. Но просто так маткад не считает вот такого рода заданный определитель с переменными. Как исправить ситуацию, и есть ли такая возможность в общем в маткаде делать такие расчеты?

Как реализовать такой расчет в МАТКАД? Что надо приписать или сделать?

можно, если с умом.
= не выводит функцию f(x), пробуй simplify(со стрелкой) или другие операции символьного счёта (вывода)

У меня с simplify спокойно получилось. Только не спрашивай что это такое. Отпишись, интересно

GeekBrains

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *