Как найти корни трансцендентного уравнения в mathcad

GeekBrains

Решение уравнений средствами MathCad

Уравнения можно разделить на два класса – алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и другие) называются трансцендентными.

Методы решения нелинейных уравнений делятся на две группы:

Точные методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. В некоторых случаях уравнение содержит коэффициенты, известные лишь приблизительно, и, следовательно, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл. Для их решения используются итерационные методы с заданной степенью точности. Вследствие неизбежных округлений результаты даже точных методов являются приближенными. При использовании итерационных методов, сверх того, добавляется погрешность метода. Эффективное применение итерационных методов существенно зависит от удачного выбора начального приближения и быстроты сходимости процесса.

Почти все встроенные функции системы MathCad, предназначенные для решения нелинейных алгебраических уравнений, нацелены на нахождение корней, которые уже приблизительно заданы. Для нахождения начального приближения (предварительной локализации корней), можно воспользоваться графическим методом. Принимая во внимание, что действительные корни уравнения f(x)=0 – это точки пересечения графика функции f(x) с осью абсцисс, достаточно построить график функции f(x) и отметить точки пересечения f(x)с осью Ох, или отметить на оси Ох отрезки, содержащие по одному корню.

Для решения одного уравнения с одним неизвестным служит функция root,для решения системы – вычислительный блок Given…Find (или Minerr…Find), если f(x) – это полином, то вычислить все его корни можно также с помощью функции polyroots. Описание перечисленных функций представлено в табл. 2.1.

Функции для решения уравнений

Имя функции Описание Пример
x0=root(f(х1,x2,…),х1,a,b) Возвращает значение х1, принадлежащее отрезку [a,b], при котором выражение или функция f(х) обращается в 0. f(х1,x2,…) – функция, определенная где-либо в рабочем документе, или выражение. х1 – имя переменной, которая используется в выражении. Этой переменной перед использованием функции root необходимо присвоить числовое значение. Mathcad использует его как начальное приближение при поиске корня. a, b – необязательные аргументы, диапазон поиска (уточнения) корня, причем a<b. f(x):=sin(x)-1+x – описываем функцию x:=1 – начальное приближение x0=root(f(х),х) x0=0.511 – решение уравнения
Given f(x)=0 x0=find(x) Находит решения уравнений и неравенств, указанных в предшествующем блоке решения. Решает системы уравнений. x:=1 – начальное приближение Given – открывает блок решения sin(x)-1+x=0 – уравнение x0=find(x) – Конец блока решения x0=0.511 – решение уравнения
Given f(x)=0 x0=minerr(x) Находит решения уравнений и неравенств, указанных в предшествующем блоке решения. Если решение найти не удается, минимизируется общая погрешность. Эту функцию удобно использовать для минимизации погрешности в методе наименьших квадратов. x:=1 – начальное приближение Given – открывает блок решения sin(x)-1+x=0 – уравнение x0=minerr(x) – Конец блока решения x0=0.511 – решение уравнения
X:=polyroots(V) Нахождение корней уравнения для полиномиального вида функции. V – вектор, составленный из коэффициентов полинома. Поскольку полином степени N имеет ровно N корней, вектор V должен состоять из N+1 элемента. Результатом действия функции polyroots является вектор, составленный из N корней рассматриваемого полинома. При этом нет надобности вводить какое-либо начальное приближение, как для функции root. Вектор V удобно создавать использую команду Символы / Коэффициенты полинома. f(x)=8x 2 -10x+3 – описание вектора коэффициентов X:=polyroots(V) – решения уравнения

Найти корни уравнения cos(x)=x+0,2 двумя способами, используя функцию Root, и, используя блок Given – Find.

Как было указано выше, для решения уравнения, строим график и отделяем интервалы, содержащие корни уравнения. Корни уравнения могут быть найдены как абсциссы точек пересечения косинусоиды y=cosx и линейной функции y= x+0,2. Построив эти функции, приближенно найдем корень уравнения на отрезке от -10 до 10 или определим его содержащий отрезок. Выбирая первое приближение корня x=1, найден корень уравнения. Фрагмент рабочего листа MathCad с результатами построения графиков представлен на рис. 2.1.

Найти нули полинома

используя возможные средства MathCad

Нули полинома является решением уравнения

На рис. 2.2 представлены два способа нахождения корней уравнения с помощью функций root() и find(). Использование этих функций ни чем не отличается от их применения в примере 2.1.

Рис. 2.1. Фрагмент рабочего листа с решением уравнения

Рис. 2.2. Фрагмент рабочего листа с решением полиномиального
уравнения двумя способами

На рис. 2.3 показан пример нахождения корней полиномиального уравнения с помощью функций polyroost().В отличие от функции root(), функция polyroots() не требует начального приближения и возвращает сразу все корни, как вещественные, так и комплексные.

Рис. 2.3. Фрагмент рабочего листа с решением полиномиального
уравнения с помощью функции polyroots()

Решение трансцендентнОго уравнения

Решение трансцендентного уравнения
Здравствуйте. У меня не получается решить трансцендентное уравнение. Необходим вектор корней в.

Решение трансцендентного уравнения
Помогите пожалуйста решить: (1.515*1014)/(1016*(3.14*x*y)0.5)*exp((-1*10-3)/(4*x*y) )=1

Решение трансцендентного уравнения с двумя переменными
Здравствуйте! Столкнулся с проблемой в mathcad`е с решением трансцендентного уравнения. Одна из.

Чуть позже распишу комментарии, что я делаю на картинке.

Сообщение от Катринак

1. Записываем эту функцию и строим ее график.
2. Почему я выбрал строить его от -3 до 3? Если икс по модулю больше трех, то 4sin(x)-1.2>-4-1.2 уж заведомо не приравняет к нулю, и корней там нет, функция заведомо положительна
3. На графике видим, что корней два, один в районе -2, другой где-то между нулем и единицей
4. Пишу далее метод Ньютона из вычислительной математики. Его идея кратко (если не знакомы с ним)- если для функции f(x) вычислять много раз подряд

то для очень многих функций — найдется корень.
5. Как именно считаю. Записываю индексы от нуля до тысячи (тысяча для надежности, реально если метод сходится — то почти наверняка гораздо быстрее).
Пишу итерационную функцию (в знаменателе производная, посчитанная вручную по банальным формулам)
Задаю считать эту тысячу итераций от начального элемента и вывожу последний элемент.
6. Если написать начальный икс нулем, то находит 0.284 (на скрине)
7. Если написать -2, то найдет -2.138, вот

Добавлено через 1 минуту
Symon, Можно и так, это может и проще.

Катринак, Можете, создавайте новые темы.

Найти корень трансцендентного уравнения
Помогите пожалуйста решить уравнение в маткаде. Никак не могу понять((( Найти корень.

найти первые 50 коРней трансцендентного уравнения!
найти первые 50 коней трансцендентного уравнения: ctg(m)=m/a-b/m, a=3; b=7. завтра.

Как задать цикл для решения трансцендентного уравнения
Здравствуйте! Подскажите, как решить уравнение для переменной &quot;F&quot;. Величина &quot;F&quot; получается при.

Решение трансцендентного уравнения
Надо решить уравнение x + ln(x) = 0 решение (приближенное) 1. уравнение имеет единственное.

Методы решения в среде «MathCAD» алгебраических и трансцендентных уравнений и организация вычислений по циклу

Пусть требуется решить уравнение с одним неизвестным x:

Это означает найти значения xi, называемые корнями или решениями, удовлетворяющие уравнению (6.1).

Правильность полученного решения можно проверить подстановкой.

Уравнение (6.1) называется алгебраическим уравнением n-ой степени если оно представляет собой многочлен степени n относительно x:

, (6.2)

где коэффициент ai – действительные или комплексные числа.

Алгебраической уравнение n-ой степени имеет n корней.

Алгебраическое уравнение называется действительным, если все его коэффициенты ai – действительные числа.

GeekBrains

Комплексные корни алгебраического уравнения могут быть только парными, комплексно сопряженными числами.

Уравнение нечетной степени всегда имеет хотя бы один действительный корень.

Аналитические методы решения уравнения (6.2) при n &#8805; 3 весьма трудоемки. Компьютерные методы предельно упрощают эту задачу.

Методы решения алгебраических уравнений в среде MathCAD

Возможны 2 способа нахождения корней уравнения (6.2) в среде MathCAD:

· с помощью методов символьной математики согласно правилу 6;

· путем обращения к встроенной функции согласно правилу 2.

Рассмотрим применение обоих методов на конкретных примерах.

Пример

Найти корни кубического уравнения:

(6.3)

Решение по правилу 6:

Открываем рабочий лист и записываем многочлен из уравнения (6.3):

Выделяем (затемняем &#9632;) в этом многочлене в любом члене один символ – переменную x – путем протаскивания курсора.

Открываем меню «Символ», подменю «Переменные» (Variable), щелчок по опции «Вычислить» (Solve).

На рабочем листе появляется результат, записанный в форме вектора:

Решение по правилу 2:

Вновь записываем многочлен из уравнения (6.3):

Выделяем (затемняем &#9632;) в этом многочлене в любом члене один символ переменной х – путем протаскивания курсора.

Записываем вектор коэффициентов многочлена, для чего открываем меню «Символ», щелчок по опции «Коэффициенты» (Polynomial Coefficients).

Перед вектором вставляем его имя V:= . Получаем результат:

Следует отметить, что при отсутствии какого-либо члена, соответствующий ему коэффициент принимается равным 0.

Обращаемся к пиктограмме «Встроенная функция» f(x) на второй строке текстового окна – стандартной линейке.

На появившемся после щелчка диалоговом окне в разделе «Категория функций» выбираем строку с надписью «Решение» (All), а в разделе «Название функции» – polyroots (корни полинома).

После нажатия на кнопку «ок» или «Вставить» на рабочем листе появляется название данной функции.

В скобки вписываем имя вектора коэффициентов V и вводим знак =.

После ввода знака равенства получаем результат в виде вектора:

,

Точность полученного результат устанавливаем путем открытия меню «Формат», подменю «Результат» и выбора требуемого числа десятичных знаков в открывшемся окне.

Проводим проверку полученных результатов.

Для этого последовательно при каждом из полученных значений корня xi (переносим их методом копирования) вычисляем значение многочлена F(x).

Близость к нулю действительной и мнимой частей F(x) указывает на правильность полученных результатов:

Дата добавления: 2017-05-02 ; просмотров: 2522 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

GeekBrains

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *